Question

Sabe-se que lny- x2-xy2=2, com y dependendo da variável x. Determine o valor de d y d x para x = 0. E.

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de derivação implícita que

$\sf\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}=2y^3$ ✅

Regras básicas de derivação

• Derivada de uma constante

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(k)=0\end{array}}$

• Derivada da potência

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\end{array}}$

• Derivada da soma ou da diferença

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x) \end{array}}$

• Derivada do produto

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)\end{array}}$

• Derivada do quociente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg]=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}\end{array}}$

Derivada do logaritmo natural

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(\ln u)=\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

Derivação implícita

Chama-se derivação implícita ao processo de encontrar a derivada de uma função através da derivando os dois membros  da função. Isso é extremamente útil porque não são todas as variáveis que conseguem ser deixada em função de outras.

Exemplo: A expressão xy²-cos(2y)=1 não pode ser expresso como uma função da variável y dependente da variável x.

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui vamos derivar os dois membros em relação a x e isolar o diferencial para depois substituir x por 0.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\ln y-x^2-2xy^2=2\\\sf x^2+2xy^2=\ln y-2\\\sf 2x+2y^2+2x\cdot2y\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}\\\\\sf 4xy\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=-2x-2y^2\\\\\sf \dfrac{dy}{dx}\bigg(4xy-\dfrac{1}{y}\bigg)=-2x-2y^2\\\\\sf\dfrac{dy}{dx}\bigg(\dfrac{4xy^2-1}{y}\bigg)=-2x-2y^2\\\\\sf\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y\cdot(-2x-2y^2)}{4xy^2-1}\\\\\sf\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2xy+2y^3}{4xy^2-1}\end{array}}$

quando x assume o valor 0 temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}=-\dfrac{2\cdot0\cdot y+2y^3}{4\cdot0\cdot y^2-1}\\\\\sf\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}=-\dfrac{2y^3}{-1}\\\\\sf\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}=2y^3\end{array}}$

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