Question

Sabe-se que g(x) faz parte da família de primitivas obtidas pela integral ∫ x + 3 x 2 + 6 x + 4. Sabendo que g(0)=ln 2, determine g(1)

Answer 1

Através dos cálculos realizados, concluímos que g(1) é igual a Log(√11).

Integral

Para resolver a questão, iremos primeiramente encontrar a primitiva da seguinte integral:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int \frac{x+3}{x^2+6x+4}\ dx \end{gathered}$

Para resolver essa integral, iremos aplicar o método da substituição simples. Fazendo o denominador igual a u, logo:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \rm u= x^2+6x+4 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \frac{du}{dx}= (x^2+6x+4)' \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm du= 2x+6 \ dx\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm \frac{du}{2(x+3) }= dx\end{gathered}$

Com isso, surge que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\rm \int \frac{\not(x+3)}{x^2+6x+4}\ \cdot \frac{1}{2\not{(x+3)}}\ du \end{gathered} }$

Simplificando:

  $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \int \frac{1}{2u}\ du \end{gathered}$

  $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \frac{1}{2}\cdot\int \frac{1}{u}\ du \end{gathered}$

Essa integral é uma integral imediata, qual função que quando derivada dá 1/x? a função ln x, porém a função ln x não está definida nos reais negativos, logo temos que garantir que x seja positivo, então o consideramos apenas o módulo de x, então

  $\large\displaystyle\begin{gathered}\rm \frac{1}{2}\cdot \ell og | u|+C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\rm g(x)=\frac{1}{2}\cdot \ell og | x^2+6x+4|+C}\end{gathered} }$

Logo, como queremos g(1), temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm g(x)=\frac{1}{2}\cdot \ell og | x^2+6x+4|+C\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm g(1)=\frac{1}{2}\cdot \ell og (1^2+6\cdot 1+4)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\rm g(1)=\frac{1}{2}\cdot \ell og ( 11)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\rm g(1)= \ell og \left( 11^{\frac{1}{2}}\right)\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\rm g(1)= \ell og (\sqrt{11} )}}\ \ \checkmark \end{gathered} }$

Para mais exercícios sobre integrais, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51033932

#SPJ4

Answer 2

Resposta:

ln(√11)

Explicação: