Question

Sabe-se que g(x) faz parte da familia de primitivas obtidas pela integral s X+3 dx. x2 +6x+4 Sabendo que g(0) = In 2, determine g(1).​

Answer 1

Heeeey

✅ Para resolver este exercício intregal de uma função como uma primeira etapa, devemos calcular o intregal que o problema diz:

$\boxed{ \rm g(x)= \int \cfrac{x + 3}{ {x}^{2} + 6x + 4}dx }$

• Vamos a resolver la intregal por cambio de variable:

$\rm g(x)= \int \cfrac{u}{ {u}^{2} + 4}du\begin{cases}u =x+3\\ v=u^2+ 5 \end{cases}\\ \\ \rm g(x)= \int \dfrac{1}{2v} dv \to \dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{v} dv$

⚠️Lembre-se de que, no cálculo de intregais, 1/u é igual a ln |u|:

$\rm g(x)=\dfrac{1}{2}\ln|v|\\ \\ \rm g(x)=\dfrac{1}{2} \ln|(x+3)^2+5| \to g(x)=\dfrac{1}{2} \ln|x^2+6x+4|$

✅ Agora calculamos se o valor da função quando "x" é igual a 0 é verdadeiro:

$\rm g(0)= \dfrac{1}{2} \ln|0^2 +6(0) +4|\to g(0) =\dfrac{1}{2} \ln|4|= \ln|2|$

• Vemos que se estiver correto, então calculamos o valor quando x tende a 1 na função:

$\rm g(1)= \dfrac{1}{2} \ln|1^2 +6(1) +4|\\ \\ \rm g(1) =\dfrac{ \ln|11|}{2} \\\\ \blue{\boxed{\rm g(1) = \ln|\sqrt{11}|}}$

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