Question

Sabe-se que existem números reais A e x0,
sendo A > 0, tais que sen x + 2 cos x = A cos(x – x0)
para todo x real. O valor de A é igual a
a) √2
b) √3
c) √5
d) 2√2
e) 2√3

Answer 1

Olá!

Essa questão pode ser resolvida de diferentes formas, eu acho que a mas simples é fazendo pelo triângulo retângulo.

Temos a : $sen x + 2 cos x$

Onde coeficiente de senx é = 1 e o coeficiente de cos x é = 2, assim associando eles como os catetos de um triângulo retangulo (que vai ter um ângulo agudo que representa a X₀), e a hipotenusa é desconhecida. Por Pitágoras temos que:

$h^{2} = a^{2} + b^{2} h^{2} = 2^{2} + 1^{2} h^{2} = 5 h = \sqrt{5}$

Assim para o ângulo vai ser:

$sen\; \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ cos\; \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Agora sabendo que:

$sen x + 2 cos x = A cos(x - x_{0})$

Agora multiplicamos e dividimos toda a a expressão pela √5 e temos que:

$\sqrt{5} * (sen x * \frac{1}{\sqrt{5}} + cos x * \frac{2}{\sqrt{5}} ) = \sqrt{5} ( cos x * cosx_{o} + senx * sen x_{0})$

$\sqrt{5} * ( cos x * cosx_{o} + senx * sen x_{0}) = A ( cos x * cosx_{o} + senx * sen x_{0})$

$A = \sqrt{5}$

Assim temos que o valor de A é: c) √5

Answer 2

$\boxed{i}$ Da equação segue que:

$sen(x)+2cos(x)=Acos(x-x_0)$

expandindo o lado esquerdo temos:

$A[cos(x).sen(x_0)+cos(x_0).sen(x_0)]=\\A.cos(x).sen(x_0)+A.cos(x_0).sen(x_0)$

Igualando as equações:

$sen(x)+2cos(x)=A.cos(x).sen(x_0)+A.cos(x_0).sen(x_0)$

Para que fique mais fácil a visualização

$sen(x)+2cos(x)=\boxed{A.cos(x_0)}.sen(x_0)+\boxed{A.sen(x_0)}.cos(x)$

Então queremos que :

$A.cos(x_0)=1 \ \\A.sen(x_0)=2$

$\boxed{ii}$ Depois de entendido o problema, precisamos encontrar uma relação

entre os dois valores .

Basta somar as duas equações encontradas anteriormente e elevar aos quadrado de ambos os lados.

Lembrete relação fundamental: $\boxed{\boxed{sen^{2}(x_0)+cos^{2}(x_0)=1}}$

$A(sen(x_0)+cos(x_0))=3$

$A^{2}(sen^{2}(x_0)+cos^{2}(x_0)}+2.sen(x_0).cos(x_0))=9$

$\\A^{2}+A^{2}.2.sen(x_0).cos(x_0)=9\\A^{2}+2.\boxed{A.sen(x_0)}.\boxed{A.cos(x_0)}=9\\A^{2}+4=9$

$\\\therefore \boxed{\boxed{A=\sqrt{5} }}$