Question

Sabe-se que em um sistema massa mola ideal, a equação de deslocamento da massa é dado por X(t) = A * COS (ωt + 4π). Demostre e calcule a velocidade deste bloco, assim como sua aceleração quando t=0 e t=1 minuto

Answer 1

Explicação:

Como a pergunta foi feita em "Ensino Superior" vou assumir que o conceito de derivada seja conhecido.

A posição é dado por: $x(t) = A\text{cos}(\omega t+4\pi)$ -------> Eq(1)

A velocidade nada mais é do que a derivada primeira da posição, logo:

$v(t) = \dot{x}(t)=\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(A\text{cos}(\omega t+4\pi)\right)$, agora usa a regra da cadeia: deriva a função cosseno e depois multiplica pela derivada do argumento do cosseno:

$v(t) = -A\omega\text{sen}(\omega t + 4\pi)$ --------> Eq(2)

A aceleração é a derivada de segunda ordem da posição, ou equivalentemente, a derivada de primeira ordem da velocidade, logo:

$a(t) = \dot{v}(t)=\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} = -A\omega\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\text{sen}(\omega t+ 4\pi))$, fazendo a derivada, temos:

$a(t) = - A\omega^2\text{cos}(\omega t + 4\pi)$ ------> Eq(3).

A velocidade e a aceleração são representadas pelas equações 2 e 3, respectivamente. Para saber seus valores em $t : \left \{ {{=\,0} \atop {=\,1}} \right.$ basta substituir os valores e realizar a conta:

Velocidade:

$v(0) = -A\omega\text{sen}(\omega\cdot0 + 4\pi) = -A\omega\text{sen}(4\pi) = 0$,

$v(1) = -A\omega\text{sen}(\omega\cdot1 + 4\pi) = -A\omega\text{sen}(\omega+4\pi)$.

Aceleração:

$a(0) = -A\omega^2\text{cos}(\omega\cdot0+4\pi) = -A\omega^2\text{cos}(4\pi) = -A\omega^2$,

$a(1) = -A\omega^2\text{cos}(\omega\cdot1+4\pi) = -A\omega^2\text{cos}(\omega+4\pi)$.

Obviamente o valor da velocidade e da aceleração em t=1 vai depender das constantes envolvidas.