Question

Sabe-se que cos(x/2) = 1/3. Então, é possível afirmar que:
A) cos(x) = -7/9
B) cos(x) = 2/3
C) cos(x) = 1/6
D) cos(x) = -1/6

Answer 1

O Arco-metade do Cosseno, pode ser calculado da seguinte forma :

$\displaystyle Cos(\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+Cos(x)}{2}}$

A questão nos pede o Cos(x) informa que :

$\displaystyle Cos(\frac{x}{2}) = \frac{1}{3}$

Então vamos substituir na "fórmula" do arco metade e isolar o Cos(x)

Substituindo :

$\displaystyle \frac{1}{3}= \pm \sqrt{\frac{1+Cos(x)}{2}}$

Elevando ao quadrado dos dois lados :

$\displaystyle (\frac{1}{3})^2 = [ \pm \sqrt{\frac{1+Cos(x)}{2}} ]^{2}\\\\ \displaystyle \frac{1}{9} = \frac{1+Cos(x)}{2} \\ \\\displaystyle \frac{2}{9} = 1 + Cos(x)$

Isolando o Cos(x) :

$\displaystyle Cos(x) = \frac{2}{9} - 1$

$\displaystyle Cos(x) = \frac{2-9}{9} \\ \\Portanto : \\\displaystyle Cos(x) = \fbox{\displaystyle\frac{-7}{9} }$

Letra A