Question

Sabe-se que ABCD é um retângulo com perímetro de 8 cm e área de 3cm² e EFGH é um retângulo com perímetro de 20 cm e área 24 cm². Podemos dizer que ABCD e EFGH são retângulos semelhantes? Justifique sua resposta

Answer 1

Em um retângulo, o perímetro e a área podem ser calculados, respectivamente, pelas seguintes fórmulas:

P = 2*(x+y)
A = x*y

Onde x e y são os lados dos retângulos. Com isso em mente, podemos substituir os valores dados no problema para encontrar as dimensões de cada retângulo.

Começando com o retângulo ABCD:

8 = 2*(x+y)
x + y = 4

3 = x*y

Isolando "x" nas duas equações acima e as igualando, temos:

4 - y = 3/y
4 y - y² = 3
y² - 4y + 3 = 0

Como raízes dessa equação, temos y = 1 e y = 3. Adotando "y=1" um desses valores, substituímos nas equações anteriores para encontrar "x":

4 = x + y
x = 4 - 1
x = 3

Logo, as dimensões do retângulo ABCD são 3 e 1.

Fazemos os mesmos cálculos para o retângulo EFGH:

20 = 2*(x+y)
x + y = 10

24 = x*y

Isolando "x" nas duas equações acima e as igualando, temos:

10 - y = 24/y
10 y - y² = 24
y² - 10y + 24 = 0

Como raízes dessa equação, temos y = 4 e y = 6. Adotando "y=4" um desses valores, substituímos nas equações anteriores para encontrar "x":

10 = x + y
x = 10 - 4
x = 6

Logo, as dimensões do retângulo EFGH são 6 e 4.


Para duas figuras geométricas serem figuras semelhantes, elas precisam ter um fator "k", que seja a razão entre suas dimensões em X e Y. Esse fator "k" precisa ser igual para ambas as direções. Para os retângulos acima, temos:

kx = 6/3 = 2
ky = 4/1 = 4

Logo, os retângulos ABCD e EFGH não são retângulos semelhantes, pois possuem fatores diferentes.