Question

Sabe-se que a²+b² = 25 e a.b = 12. Qual o valor de a+b?

Answer 1

A=3
B=4

3²+4²=25
9+16=25

A.b=12
3.4=12

A+B=7

Answer 2

Sabemos que $\mathsf{(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(a^{2}+b^{2})+2ab}$

(Esse é o produto notável chamado de quadrado da soma de dois termos)

Sabendo que $\mathsf{a^{2}+b^{2}=25,\,ab=12}$, temos que

$\mathsf{(a+b)^{2}=(a^{2}+b^{2})+2(ab)}\\\\\mathsf{(a+b)^{2}=25+2(12)}\\\\\mathsf{(a+b)^{2}=25+24}\\\\\mathsf{(a+b)^{2}=49}$

Tirando a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$\mathsf{\sqrt{(a+b)^{2}}=\sqrt{49}}\\\\\mathsf{\sqrt{(a+b)^{2}}=7}$

Sabemos que, no caso geral, $\mathsf{\sqrt{x^{2}}=|x|=\begin{cases}\mathsf{\,\,\,\,x,\,\,\,se\,\,x\ge0}\\\mathsf{-x,\,\,se\,\,x\ \textless \ 0}\end{cases}}$

Então

$\mathsf{|a+b|=7\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,a+b=\pm7}$

Existem dois valores possíveis para a + b: -7 e 7