Question

Sabe-se que a única solucão do sistema a seguir é o terno ordenado (a,b,c)

x - y + 2z = -1
2x - y - z = 5
x + 6y + 3z = 12

Calcule o valor de a + b + c.

Answer 1

Boa noite

x - y + 2z = -1
2x - y - z = 5
x + 6y + 3z = 12

y = x + 2z + 1

2x - x - 2z - 1 - z = 5
x - 3z = 6

x + 6x + 12z + 6 + 3z = 12
7x + 15z = 6
x - 3z = 6
5x - 15z = 30

12x = 36
x = 3
3 - 3z = 6
3z = -3
z = -1

y = x + 2z + 1
y = 3 - 2 + 1 = 2

a + b + c = x + y + z = 3 + 2 - 1 = 4

Answer 2

Vamos lá: temos as equações:

1) x-y+2z=-1
2) 2x-y-z=5
3) x+6y+3z=12

Vamos somar a primeira equação multiplicada por -1 com a segunda:

-x+y-2z=+1
2x-y-z=5

x-3z=6. Guardamos esta equação e vamos ao próximo passo. Agora, iremos somar a a segunda equação multiplicada por 6 com a terceira equacão. Dessa forma,

12x-6y-6z=30
   x+6y+3z=12

13x-3z=42. Agora, podemos somar aquela equação encontrada, x-3z=6, multiplicada por -1 com a última equação encontrada. Assim:

   -x+3z=-6
13x-3z=42 

12x=36 -->x=3.

Agora, vamos somar a primeira equação multiplicada por -2 com a segunda. Assim,

-2x+2y-4z=2
 2x-y-z=5

y-5z=7. Guardamos esta equação e vamos ao próximo passo. Agora, iremos somar a segunda equação com a terceira equação multiplicada por -2. Dessa forma,

 2x-y-z=5
-2x-12y-6z=-24

-13y-7z=-19. Organizando, temos:

-13y-7z=-19
     y-5z=7

Irei multiplicar a equação de baixo por 13,

-13y-7z=-19
 13y-65z=91

-72z=72 --> z=-1. Se z vale -1, temos: y-5×(-1)=7 --> y+5=7 --> y=2.

Assim, (x, y, z)=(a, b, c)=(3, 2, -1)

a+b+c=3+2+(-1)=5-1=4

Bons estudos!