Question

Sabe-se que a base de uma pirâmide regular é um qua-
drado ABCD, cujas diagonais da base medem 24raizde2 cm cada uma. Sabe-se também que a distância de seu vértice V ao pla-
no da base, indicado por h na figura, mede 16 cm.

Answer 1

A área total da pirâmide é 1536 cm².

Alternativa D.

• A área total da pirâmide é a área da base somada ao quadruplo da área de uma face lateral triangular.

$\large \sf A_P = A_B + 4 \cdot A_F$

• Considere:

d: Diagonal da base (24√ ̅2̅ cm).

h: Altura da pirâmide (16 cm).

ℓ: lado do quadrado da base.

• Determine a medida do lado do quadrado da base: Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo ABC.

d² = ℓ² + ℓ²

d² = 2 • ℓ² ⟹ Substitua a medida da diagonal da base.

(24√ ̅2̅ )² = 2 • ℓ²

24² • 2 = 2 • ℓ² ⟹ Divida ambos os membros por 2.

24² = ℓ² ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

ℓ = 24 cm

• Determine a área da base da pirâmide.

$\large \sf A_B = \ell ^2$

$\large \sf A_B = 24 ^2$

$\large \sf A_B =576~cm^2$

• Observe na figura anexa que o segmento OM mede a metade do comprimento do lado (ℓ) do quadrado da base da pirâmide.

$\large \sf OM = \dfrac{\ell}{2}$

$\large \sf OM = \dfrac{24}{2}$

OM = 12 cm

• Determine a medida da altura (H) do triângulo da face lateral: Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo VMO.

H² = h² + OM² ⟹ Substitua os valores.

H² = 16² + 12²

H² = 256 + 144

H² = 400 ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

H = 20 cm

• Determine a área da face lateral:

$\large \sf A_F = \dfrac{\ell \times H}{2}$

$\large \sf A_F = \dfrac{24 \times 20}{2} = 24 \times 10$

$\large \sf A_F = 240 ~cm^2$

• Determine a área total da pirâmide.

$\large \sf A_P = A_B + 4 \cdot A_F$

$\large \sf A_P = 576 + 4 \cdot 240$

$\large \sf A_P = 576 + 960$

$\large \sf A_P = 1536 ~cm^2$

A área total da pirâmide é 1536 cm².

Alternativa D.

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