Question

Sabe-se que a área de um triângulo pode ser determinada de várias formas. Uma delas envolve o uso de um sistema de coordenadas no plano e o uso de um determinante. De fato, sendo

A=(xa,ya),B=(xb,yb) e C=(xc,yc)∈R2

os vértices de um triângulo representados no plano, sua área é dada por

Área=|detA|2

ou seja, pela metade do módulo do determinante da matriz

A=⎡⎣⎢xaxbxcyaybyc111⎤⎦⎥.

De acordo com a expressão acima, a área de um triângulo que tenha vértices nos pontos A=(1,1), B=(-1,2) e C=(2,2) será:



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Answer 1

• A área do triângulo em função das coordenadas de seus vértices é obtida calculando a metade do módulo do determinante da matriz das coordenadas dos vértices do triângulo:

$\large \sf \'Area = \dfrac{\left| det \ A \left|}{2}$

onde:

A: Matriz das coordenadas dos vértices do triângulo.

det A: Determinante da matriz das coordenadas dos vértices do triângulo.

• A matriz das coordenadas dos vértices do triângulo é montada da seguinte forma:

$\large \sf A = \left[\begin{array}{ccc}x_A& y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right]$

• Para os pontos A (1, 1), B (−1, 2) e C (2, 2).

$\large \sf A = \left[ \begin{array}{r r r}1& 1&1\\-1&2&1\\2&2&1\end{array} \right]$

• Calcule o determinante da matriz A.

$\large \sf det \ A = \left| \begin{array}{r r r}1& 1&1\\-1&2&1\\2&2&1 \end{array}\right| \begin{array} {r r} 1& 1\\-1&2\\2&2\end{array}$

det A = (1×2×1) + (1×1×2) + (1×(−1)×2) − [ (1×2×2)  + (1×1×2) + (1×(−1)×1) ]

det A = 2 + 2 + (− 2) − [ 4  + 2 + (−1) ]

det A = 2 − [ 5 ]

det A = −3

• Calcule a área do triângulo.

$\large \sf A = \dfrac{\left| det \ A \left| }{2} = \dfrac{\left| -3 \left| }{2} = \dfrac{3}{2}$

A área do triângulo é 1,5 u.a.

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