Question

Sabe-se que a área da região sombreada vale 14 metros quadrados e ABCD é um quadrado de lado (2x-10)m. Qual é o valor de x?

Answer 1

Resposta:

8 m

Explicação passo-a-passo:

A área da região sombreada resulta da diferença da área do retangulo pela área do quadrado. Para saber a área de um retângulo, basta multiplicar sua base pela altura (A = b × h), logo A = (x + 2) × (x - 3), resolvendo:

$A = (x + 2) \times (x - 3) \\ A = x {}^{2} - 3x + 2x - 6 \\ A = {x}^{2} - x - 6$

Já a área de um quadrado se obtem elevando seu lado ao quadrado (A = l²), logo A = (2x - 10)²:

$A = {(2x - 10)}^{2} \\ A = (2x - 10) \times (2x - 10) \\ A = 4 {x}^{2} - 20x - 20x + 100 \\ A = 4 {x}^{2} - 40x - 100$

A área da região sombreada é dada por: Área do retângulo menos Área do quadrado, o resultado da subtração vai se igualar a 14.

${x}^{2} - x - 6 - (4 {x}^{2} - 40x + 100 )= 14 \\ {x}^{2} - x - 6 - 4 {x}^{2} + 40x - 100 = 14 \\ - 3 {x}^{2} + 39x - 106 - 14 = 0 \\ - 3 {x}^{2} + 39x - 120 = 0$

Essa equação final irei dividir os dois lados por (-3) que resulta em:

${x}^{2} - 13x + 40 = 0$

Agora é só aplicar a fórmula quadrática.

$x = \frac{ - ( - 13) \: ± \sqrt{ {( - 13)}^{2} - 4 \times 1 \times 40 } }{2 \times 1} \\ x = \frac{13 ± \sqrt{169 - 160} }{2} \\ x = \frac{13 ± \sqrt{9} }{2} \\ x = \frac{13 ± 3}{2} \\ x' = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\ x'' = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Chegamos a esses dois valores de x, mas note que o valor de x = 5 não vai nos satisfazer, pois quando substituimos o x por 5 no lado do quadrado ele irá valer 0, e isso não convém pois estamos trabalhando com medidas de comprimento.

Logo o valor de x que satisfaz essa questão será 8 m.