Question

SABE-SE QUE A ALTURA DE UMA PIRÂMIDE MEDE 30 CM E SUA BASE É UM QUADRADO CUJO LADO MEDE 20 CM. CALCULE A MEDIDA DA ALTURA E DO LADO DA BASE DE UMA PIRAMIDE SEMELHANTE A PRIMEIRA CUJO VOLUME E IGUAL A 500 CM³.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o Princípio de Cavalieri.

Dada a medida do lado e da altura da primeira pirâmide, utilizamos a seguinte fórmula para calcular seu volume:

$V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$, tal que nestas condições, $A_b={\ell}^2$

Substituindo $\ell=20~cm$ e  $h=30~cm$, teremos

$V=\dfrac{20^2\cdot 30}{3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$V=\dfrac{400\cdot 30}{3}\\\\\\ V=\dfrac{12000}{3}$

Simplifique a fração

$V=4000~cm^3$

Ao utilizarmos o princípio de Cavalieri, teremos que:

$\dfrac{V_1}{V_2}=\left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)^3$

Substituindo as medidas que conhecemos e o volume da outra pirâmide, temos

$\dfrac{4000}{500}=\left(\dfrac{30}{h_2}\right)^3$

Calcule a potência e simplifique a fração

$8=\dfrac{27000}{{h_2}^3}$

Isole ${h_2}^3$

${h_2}^3=\dfrac{27000}{8}$

Observe que podemos reescrever a fração como: $\left(\dfrac{30}{2}\right)^3$, logo

${h_2}=\dfrac{30}{2}$

Simplifique a fração

$h_2=15~cm$

Utilizando  a fórmula do volume novamente, utilizando a medida da segunda pirâmide, temos

$V_2=\dfrac{A_b_2\cdot h _2}{3}\\\\\\ 500=\dfrac{A_b_2\cdot 15}{3}$

Simplifique a fração

$500=A_b_2\cdot 5$

Divida ambos os lados da equação por $5$

$A_b_2=100$

Sabendo que $A_b_2={\ell_2}^2$

${\ell_2}^2=100$

Retire a raiz quadrada, assumindo a solução positiva

$\ell_2=10~cm$

Dessa forma, afirmamos que a altura da segunda pirâmide é igual a 15 cm e a medida do lado de sua base é igual a 10 cm.