Question

Sabe-se que 85% dos trabalhadores do estado na área de saúde são favoráveis às novas políticas implementadas no SUS (Sistema Único de Saúde). Considere que 20 trabalhadores foram escolhidos ao acaso desta população. Defina X como o número de trabalhadores favoráveis às novas políticas, dentre os 20 escolhidos. Calcule a probabilidade de
(a) exatamente 15 trabalhadores serem favoráveis;
(b) pelo menos 16 trabalhadores serem favoráveis; e
(c) menos do que 3 trabalhadores sejam contrários às novas políticas.

Answer 1

a) A probabilidade de que 15 trabalhadores sejam favoráveis no grupo de 20 é de 10,28 %.

Usando a distribuição binomial, temos que:

$P[X = k] = \left(\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right)p^{k}(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}$

onde k é o valor de teste desejado para o sucesso na amostra testada, n é o tamanho da amostra e p é a probabilidade de sucesso.

Nesse caso temos que p = 0,85. A nossa amostra é de n = 20 e k = 15. Logo, aplicando na equação:

$P[X = 15] = \frac{20!}{15!(20-15)!}0,85^{15}(1-0,85)^{20-15}$

$P[X = 15] = \frac{20!}{15!5!}0,08735.(0,15^{5})$

$P[X = 15] = 15540.0,08735.(0,0000759)$

P[X = 15] = 0,1028

b) A probabilidade de que pelo menos 16 trabalhadores sejam favoráveis no grupo de 20 é de 82,98 %.

Nesse caso ainda temos que p = 0,85, com n = 20 e agora, k ≥ 16. Logo, podemos escrever:

P[X ≥ 16] = P[X = 16] + P[X = 17] + P[X = 18] + P[X = 19] + P[X = 20]

Assim, aplicando na equação, teremos que:

P[X ≥ 16] = 0,1821 + 0,2428 + 0,2293 + 0,1368 + 0,0388

P[X ≥ 16] = 0,8298

c) A probabilidade de que no máximo 3 trabalhadores sejam contrários no grupo de 20 é de 64,77 %.

Nesse caso temos ainda que p = 0,15, com n = 20 e agora, k ≥ 17, uma vez que para que somente 3 sejam contrários, 17 no minimo tem que ser favoráveis. Logo, podemos escrever:

P[X ≥ 17] = P[X = 17] + P[X = 18] + P[X = 19] + P[X = 20]

Assim, aplicando na equação, teremos que:

P[X ≥ 17] = 0,2428 + 0,2293 + 0,1368 + 0,0388

P[X ≥ 17] = 0,6477

Espero ter ajudado!