Question

S= log(1+1/10+1/100+1/1000+...)

Answer 1

O argumento do logaritmo forma uma PG de razão q = 1/10
Calculando a soma dos 4 primeiros termos, pois não fará diferença significativa um número maior de  temos:

S10 = a1.(q^n  -1)/(q - 1)
S10 = 1.(1/10)^4 -1)/(1/10 - 1)
S10 = 1.(0,0001 - 1)/(1 - 10)/10
S10 = 1.(-0,9999)/(-9/10)
S10 = (-0,9999)/(-0,9)
S10 = 1,111

S = log 1,111
S = log 10/9
S = log 10 - log 9

Transformando log 9 na base 3
log 9 = log3 9/log3 10
log 3 9 = 2
log3 10 ≈ 2,09
log 9 = 2/2,09 =  0,9569

S = 1 - (0,9569)
S ≈ 0,0431


Espero ter ajudado.