Question

Roberto quer escrever o número 111.111 como um produto de dois números nenhum deles terminado em 1. encontre as possibilidades ​

Answer 1

Resposta: O número 111111 pode ser escrito das formas a seguir:

     $3\cdot 37037\\ 7\cdot 15873\\ 13\cdot 8547\\ 33\cdot 3367\\ 37\cdot 3003\\ 39\cdot 2849\\ 77\cdot 1443\\ 143\cdot 777\\ 259\cdot 429\\ 273\cdot 407$

sendo essas todas as possibilidades cujos fatores não terminam em 1.

Explicação passo a passo:

O primeiro passo é encontrar todos os divisores naturais de 111111, e depois ordená-los em ordem crescente. Decompondo 111111 em seus fatores primos, temos

     $\begin{array}{r|r}111111&3\\ 37037&7\\ 5291&11\\ 481&13\\ 37&37\\ 1\end{array}$

Logo, $111111=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37.$

Todos os divisores d de 111111 podem ser escritos na forma

     $d=3^{k_1}\cdot 7^{k_2}\cdot 11^{k_3}\cdot 13^{k_4}\cdot 37^{k_5}$

com $k_i\in \{0,\,1\},\quad i\in\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}.$

Como há duas possibilidades para cada expoente $k_i,$ o total de divisores de 111111 é $2^5=32.$

Os divisores de 111111 seguem na última coluna da tabela abaixo, cujos valores foram obtidos a partir de seus fatores primos da primeira coluna:

     $\begin{array}{r|l} &1\\ 3&3\\ 7&7,\,21\\ 11&11,\,33,\,77,\,231\\ 13&13,\,39,\,91,\,273,\,143,\,429,\,1001,\,3003\\ 37&37,\,111,\,259,\,777,\,407,\,1221,\,2849,\,8547,\\ &481,\,1443,\,3367,\,10101,\,5291,\,15873,\,37037,\, 111111\end{array}$

O produto de dois números só termina em 1 nos casos abaixo:

• Os fatores terminam em 1 e 1, ou
• Os fatores terminam em 3 e 7, ou
• Os fatores terminam em 9 e 9.

Queremos excluir o primeiro caso. Logo, basta tomarmos os produtos cujos fatores terminam em 3, 7 ou 9:

     $3\cdot 37037\\ 7\cdot 15873\\ 13\cdot 8547\\ 33\cdot 3367\\ 37\cdot 3003\\ 39\cdot 2849\\ 77\cdot 1443\\ 143\cdot 777\\ 259\cdot 429\\ 273\cdot 407$

sendo estas todas as possibilidades.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)