Question

Roberto está sobre uma plataforma apoiada sobre dois pontos. Em certo instante, ele está mais
próximo da extremidade direita, enquanto um objeto cilíndrico encontra se mais próximo da extremidade
esquerda da plataforma, como mostrado nesta figura ao lado. Considerando que a plataforma é homogênea e
pesa 400N, que o peso do objeto é 120N e o peso de Joaquim 740N, determine a intensidade da força de
reação em cada apoio.

Answer 1

Olá.

Este é um exercício de estática, e como todo exercício desse tipo, basta aplicarmos as fórmulas de equilíbrio(Somatório das forças e torques externos em torno de qualquer ponto são iguais a zero).

Mas para conseguirmos isso, o primeiro passo é identificar as forças atuantes no problema. Portanto, devemos desenhar o Diagrama de Corpo Livre(DCL) do problema, colocando todas as forças importantes. Para a conveniência do leitor, o desenho está no anexo da questão. O segredo desse passo é simplificar ao máximo possível o desenho e deixá-lo apenas com as formas básicas, as forças e as distâncias existentes. Joaquim foi substituído pelo seu peso (J) apontando para baixo. O mesmo ocorreu com o cilindro(C) e a Plataforma(P). O que se pede são as reações de apoio. Para uma plataforma apoiada(como diz o enunciado), as únicas reações de apoio ocorrem na direção vertical. Chamei os pontos de contato dos apoios de A e B e as reações na vertical de $A_y$ e $B_y$, respectivamente(Observe que para colocar o índice y eu fiz questão de colocar no desenho a convenção de direções que usaria. Se não fizesse isso, o índice não ia querer dizer nada).

Agora, entendidos todos os pontos para se fazer o DCL e colocar as forças, podemos resolver o problema. Veja que existem duas incógnitas (as duas reações), e em problemas no plano temos três equações que podemos usar(equação da força em x, força em y e, por fim, a equação do torque/momento).

Vamos aplicar as três equações:

• Somatório das forças em x: $\sum F_x = 0$

Não há forças atuando na direção x nesse caso. Então:

$0 = 0 ~~~~ [\mathtt{verdade}]$

Essa equação não nos forneceu nada útil, mas eventualmente, se houvessem forças de reação ou aplicadas na direção x, ela não seria vazia. Coloquei apenas para destacar as três equações no plano.

• Somatório das forças em y: $\sum F_y=0$

Existem as duas reações e os três pesos na direção y. Vamos fazer a soma vetorial, isso é, somamos todas as forças, mas elas vão carregar seu sinal. Positivo se estiverem "para cima", que é a direção de y. Negativo se forem para baixo, contra o sentido positivo de y. A escolha do sentido positivo é totalmente arbitrária, igualmente com a direção que colocamos os esforços. Se nosso 'chute' inicial da direção estiver errado, o valor aparecerá negativo ao resolvermos. Façamos o somatório:

$\sum F_y = 0\\ \\A_y + (-C) + (-P)+(-J) + B_y = 0\\\\A_y -120-400-740+B_y=0\\\\A_y+B_y = 740+400+120\\\\\boxed{A_y+B_y = 1260}~~~~~~ \mathtt{(i)}$

Temos nossa primeira equação. Vamos agora aplicar a última equação que temos, a dos torques(ou Momentos) em torno do algum ponto. Escolhi o A, por eliminar a variável Ay que não gera torque nesse ponto. O sentido que vou adotar para o torque é o da regra da mão direita. Coloque sua mão direita sobre o ponto A e a tenta girar na direção que cada seta de força aponta. Para o cilindro, nosso dedão tende a entrar no papel enquanto a mão direita gira no sentido horário. Então esse momento será negativo. Para a reação By a mão direita gira no sentido anti-horário e o dedão aponta para fora da tela/folha. Então o momento será poitivo.

Lembrando mais uma vez que : $M = F\cdot d$, onde M é o momento(ou torque, use T se preferir), F a força e d o braço da alavanca. Por ser uma parte que as pessoas têm mais dificuldade, vou fazer explicado pra cada força:

• Apoio A(Ay): Não gera torque sobre si mesmo(Braço de alavanca = 0);
• Cilindro(C): Braço 0,5 m(distância de C até A); Força é seu peso de 120 N;
• Plataforma(P): Braço 1,0 m(ela é homogênea, então seu peso está localizado na sua metade); Força de 400 N;
• Joaquim(J): Está a (2 - 0,5)m de A, então seu braço de alavanca é de 1,5 m e a força é seu peso, 740 N;
• Apoio B(By): Braço 2,0 m; Força By, que é desconhecida;

Agora sim aplicamos a terceira equação: Soma das forças x distâncias = 0. Cada termo nos parênteses é o torque gerado por uma das forças.

$\sum M_A=0$

$(-C\cdot 0,5) + (-P\cdot 1) + (-J\cdot 1,5) + (B_y\cdot2) = 0$

$-120\cdot0,5-400\cdot1-740\cdot 1,5+B_y\cdot 2=0\\ \\ -60-400-1110+2B_y=0\\\\ 2B_y =1110+400+60\\\\2B_y=1570\\ \\\boxed{B_y=785~N}$

Agora basta usarmos esse valor na equação $\mathtt{(i)}$ que obtemos anteriormente e teremos a segunda reação.

$A_y+B_y = 1260\\\\A_y+785=1260\\\\A_y=1260-785\\\\\boxed{A_y =475~N}$

Assim, temos a resposta do problema:

As reações são de 475 N e 785 N nos apoios da esquerda e direita, respectivamente.

Nota: Se você quissesse resolver usando apenas equações de torque seria possível. Aplique ela no ponto A e descubra By. Depois aplique no ponto B e obtenha Ay direto.