Question

Retiraram-se x litros de vinho de um barril de 100 litros e adicionaram-se, ao mesmo barril, x litros de água. Da mistura resultante no barril, retiram-se outros x litros e adicionam-se outros x litros de água. Agora o barril contém 64 litros de vinho e 36 de água. Calcule o valor de x

Answer 1

     •  Volume inicial de vinho:   $\mathsf{V_1=100~L}$

     •  Volume inicial de água:   $\mathsf{V_2=0}$

     •  Volume total da mistura:   $\mathsf{V=V_1+V_2=100~L}$

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Retira-se  x  litros de vinho e adiciona-se  x  litros de água.  Após esses procedimentos, teremos

     •  Volume de vinho:   $\mathsf{V_1=100-x}$

     •  Volume de água:   $\mathsf{V_2=x}$


     •  Fração de vinho na mistura (em volume):

        $\mathsf{f_1=\dfrac{V_1}{V}}\\\\\\ \mathsf{f_1=\dfrac{100-x}{100}}$


     •  Fração de água na mistura (em volume):

        $\mathsf{f_2=\dfrac{V_2}{V}}\\\\\\ \mathsf{f_2=\dfrac{x}{100}}$

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Ao retirarmos mais  x  litros da mistura,  as frações de vinho e água permanecem as mesmas, pois ainda não houve diluição. Após essa retirada, o volume total da mistura fica

     $\mathsf{V=100-x}$


Agora teremos na mistura

     •  Volume de vinho:

        $\mathsf{V_1=f_1\cdot V}\\\\\\ \mathsf{V_1=\dfrac{100-x}{100}\cdot (100-x)}$


     •  Volume de água:

        $\mathsf{V_2=f_2\cdot V}\\\\\\ \mathsf{V_2=\dfrac{x}{100}\cdot (100-x)}$

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Agora adicionaremos  x  litros de água, diluindo essa mistura. Perceba que nesse passo, o volume de vinho na mistura não será alterado. Portanto, após isso, teremos

     •  Volume de vinho:

        $\mathsf{V_1=\dfrac{100-x}{100}\cdot (100-x)}$


     •  Volume de água:

        $\mathsf{V_2=\dfrac{x}{100}\cdot (100-x)+x}$

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Ao final, o volume de vinho é  64 L  e o volume de água é  36 L. Logo, devemos ter

     $\mathsf{V_1=\dfrac{100-x}{100}\cdot (100-x)=64\qquad (i)}\\\\\\ \mathsf{V_2=\dfrac{x}{100}\cdot (100-x)+x=36\qquad (ii)}$


Podemos resolver qualquer uma das duas equações e depois verificar o valor encontrado para  x:

     $\mathsf{V_2=36}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{100}\cdot (100-x)+x=36}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x(100-x)}{100}+\dfrac{100x}{100}=36}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x(100-x)+100x}{100}=36}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{100x-x^2+100x}{100}=36}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{200x-x^2}{100}=36}\\\\\\ \mathsf{200x-x^2=36\cdot 100}$

     $\mathsf{200x-x^2=3600}\\\\ \mathsf{x^2-200x+3600=0}$


Vamos resolver essa equação quadrática usando fatoração por agrupamento. Reescreva  − 200 x  como  − 20x − 180x:

     $\mathsf{x^2-20x-180x+3600=0}\\\\ \mathsf{x^2-20x-180x+180\cdot 20=0}\\\\ \mathsf{x(x-20)-180(x-20)=0}\\\\ \mathsf{(x-20)(x-180)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x-20=0}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{x-180=0}\\\\ \mathsf{x=20}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{x=180} \end{array}$


Devemos ter  0 < x < 100.  Logo, o valor que se aplica é

     $\mathsf{x=20}$        ✔

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Verificando pelas equações  (i)  e  (ii):

     $\mathsf{V_1=\dfrac{100-x}{100}\cdot (100-x)}\\\\\\ \mathsf{V_1=\dfrac{100-20}{100}\cdot (100-20)}\\\\\\ \mathsf{V_1=\dfrac{80}{100}\cdot 80}\\\\\\ \mathsf{V_1=\dfrac{6400}{100}}$

     $\mathsf{V_1=64~L}$        ✔


     $\mathsf{V_2=\dfrac{x}{100}\cdot (100-x)+x}\\\\\\ \mathsf{V_2=\dfrac{20}{100}\cdot (100-20)+20}\\\\\\ \mathsf{V_2=\dfrac{20}{100}\cdot 80+20}\\\\\\ \mathsf{V_2=\dfrac{1600}{100}+20}\\\\\\ \mathsf{V_2=16+20}$

     $\mathsf{V_2=36~L}$        ✔


Resposta:  x = 20.


Bons estudos! :-)