Question

Retirando-se 3 cartas de um baralho comum de 52 cartas, sem reposicao, calcule a probabilidade de ocorrer pelo menos um rei ?

Answer 1

Vamos calcular a probabilidade do evento complementar, que é

$\overline{E}_i:$ não ocorrer rei na $i-$ésima retirada. (sem reposição).

com $i=1,\,2,\,3.$

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$\bullet~~$ Para a 1ª carta.

A probabilidade de $\overline{E}_1$ é

$p(\overline{E}_1)=1-\dfrac{4}{52}=\dfrac{48}{52}$

(tenho $52$ cartas disponíveis, das quais $48$ não são reis)


$\bullet~~$ Para a 2ª carta, dado que a 1ª carta não é rei.
 
A probabilidade de $\overline{E}_2$ é

$p(\overline{E}_2)=\dfrac{48-1}{52-1}=\dfrac{47}{51}$

(tenho $51$ cartas disponíveis, das quais $47$ não são reis)


$\bullet~~$ Para a 3ª carta, dado que a 1ª e a 2ª cartas não são reis

A probabilidade de $\overline{E}_3$ é

$p(\overline{E}_3)=\dfrac{47-1}{51-1}=\dfrac{46}{50}$

(tenho $50$ cartas disponíveis, das quais $46$ não são reis)

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Portanto, a probabilidade não ocorrer rei em nenhuma das três retiradas é

$p(\overline{E}_1 \cap \overline{E}_2\cap \overline{E}_3)=\dfrac{48}{52}\cdot \dfrac{47}{51}\cdot \dfrac{46}{50}\\\\\\ p(\overline{E}_1 \cap \overline{E}_2\cap \overline{E}_3)=\dfrac{4\cdot 47\cdot 23}{13\cdot 17\cdot 25}=\dfrac{4\,324}{5\,525}$

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A probabilidade de ocorrer pelo menos um rei nas três retiradas é

$1-p(\overline{E}_1 \cap \overline{E}_2\cap \overline{E}_3)=\\\\ =1-\dfrac{4\,324}{5\,525}\\\\\\ =\dfrac{5\,525-4\,324}{5\,525}\\\\\\ =\dfrac{1\,201}{5\,525}\approx 21,7\%.$