Question

Retirando fatores do radicando , simplifique os seguintes radicais

Answer 1

Resposta:

4b)  $5\sqrt[4]{2}$         4c) $10\sqrt[3]{5}$         4d) $2\sqrt{5}$          4e) $4\sqrt{3}$

Explicação passo a passo:  

Para a resolução de exercícios com radicais há um determinado conjunto

de regras a saber.

Passo a indicar algumas, ligadas com os exercícios desta tarefa

Observação 1 → Elementos de um radical

Exemplo:

$\sqrt[5]{11^3}$

• 5    → é o índice
• $11^3$  → é o radicando ( está dentro do sinal de radical
• 3     →  expoente do radicando
• √    → símbolo de radica

Observação 2  → Simplificação de fatores do radicando

Colocar no radicando potências cujo expoente seja igual ao índice do

radical.

Exemplo:

$\sqrt[3]{2^7} =\sqrt[3]{2^3*2^3*2} =\sqrt[3]{2^3} *\sqrt[3]{2^3} *\sqrt[3]{2^1} =2*2*\sqrt[3]{2} =4\sqrt[3]{2}$

Observação 3 → Porque se pode simplificar potências num radicando?

Esta simplificação pode-se fazer porque a exponenciação e a radiciação

são operações inversas que se cancelam mutuamente quando aplicadas ao

mesmo tempo.

Exemplo :  

Extrair raiz quadrada de um número ao quadrado é o mesmo que nada se

fazer.

Observação 4 → Produto de potência com a mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes:

Exemplo:

$2^3*2^3*2 = 2^{3+3+1} =2^7$

Observação 5 → Desdobrar uma potência num produto de potências

O exemplo será suficiente para perceber

Pela regra anterior ficou a saber que :

$2^3*2^3*2 =2^7$

Agora é muito importante e útil que saiba fazer ao contrário, sempre que precisar:

$2^{7}=2^{3} *2^{3} *2^1$

Este desdobramento estava perfeito para um radical de índice 3

Agora:

$2^7=2^2*2^2*2^2*2$

Agora está ótimo para um radical de índice 2

Isto é frequentemente utilizado em simplificação de radicandos.

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4b)

$\sqrt[4]{2*5^4} =\sqrt[4]{2}*\sqrt[4]{5^4} =\sqrt[4]{2} *5=5\sqrt[4]{2}$

4c)

$\sqrt[3]{2^3*5^4} =\sqrt[3]{2^3} *\sqrt[3]{5^3*5} =2*\sqrt[3]{5^3}*\sqrt[3]{5} =2*5*\sqrt[3]{5} =10\sqrt[3]{5}$

4d)

$\sqrt{20}$

neste caso não tem imediatamente à vista nenhuma potência no radicando

para simplificar.

Decompor em fatores primos o valor 20

20 | 2      20 = 2² * 5

10 | 2

 5 | 5

  1

Agora já temos potências no radicando para poder simplificá-lo

$\sqrt{20}=\sqrt{2^2*5} =\sqrt{2^2} *\sqrt{5} =\sqrt[2]{2^2} *\sqrt{5} =2\sqrt{5}$

Repare que coloquei o índice 2, de raiz quadrada, no radical $\sqrt[2]{2^2}$ para ser

totalmente evidente a simplificação da potência do radicando.

4d)

$\sqrt{48}$

Decompor 48 em fatores primos  

48 | 2             $48=2^4*3$

24 | 2

12 | 2

  6 | 2

  3 | 3

   1

$\sqrt{48}=\sqrt{2^4*3} =\sqrt[2]{2^2} *\sqrt[2]{2^2} *\sqrt{3} =2*2*\sqrt{3} =4\sqrt{3}$

Fim de resolução.

Observação 6 → Expoentes "escondidos"

Quando temos o número 3 , não se encontra sob a forma de potência.

Mas na realidade o que lá está é  $3^1$ .

E sempre que seja necessário, em cálculos, ter em conta a existência dele.

Observação 7 → Índices ( de radicais ) "escondidos"

Quando temos $\sqrt{7}$ lemos " raiz quadrada de sete" .

Aparentemente não está lá nenhum índice 2.

Mas está.   $\sqrt[2]{7}$

Observação  8 → Razão para expoentes e índices "escondidos" ?

Trata-se de um acordo entre os matemáticos para tornar mais simples a

escrita simbólica de expressões.

E para a resolução de exercícios ser mais breve.

Bons estudos.

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Símbolos : ( * ) multiplicação

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Nos exercícios que resolvo procuro mostrar detalhadamente como se faz.

Acompanhado de regras muito úteis nessa resolução.

Se quer só os cálculos, eles estão aqui.

Se quer perceber como e porque se resolve , aquilo que eu sei, eu ensino.