Question

retiramos 4 bolas de uma caixa contendo 3 bolas amarelas, 4 bolas vermelhas e 5 bolas pretas.Determine:
a) a probabilidade de que pelo menos uma das 4 bolas retiradas seja amarela?
b) a probabilidade de que nenhuma das 4 bolas seja amarela.

Answer 1

Olá, boa noite!

Inicialmente, vamos identificar as bolas dentro da caixa.

Caixa: {B1, B2, B3, V1, V2, V3, V4, P1, P2, P3, P4, P5}.

Item a) pelo menos uma bola branca.

Determinemos a quantidade de subconjuntos do espaço amostral aplicando o conceito de Combinação Simples.

Decisão 1: combinar 12 bolas tomadas 4 a 4.

$\mathsf{C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4! 8!} = 495}$

 Determinada a quantidade de subconjuntos, ou seja, o espaço amostral; dividimos a resolução em três casos: uma bola amarela, duas bolas amarelas e três bolas amarelas retiradas.

CASO I: uma bola amarela retirada.

d1: combinar três bolas amarelas tomadas uma a uma;
d2: combinar 9 bolas que não são amarelas tomadas três a três.

Portanto, pelo PFC,

$\mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{9}^{3} = \frac{3 \cdot 2!}{1!2!} \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3!6!} = 3 \cdot 84 = 252}$


CASO II: duas bolas amarelas retiradas.

d1: combinar três bolas amarelas tomadas duas a duas;
d2: combinar 9 bolas que não são amarelas tomadas duas a duas.

Então, pelo PFC,

$\mathsf{C_{3}^{2} \cdot C_{9}^{2} = \frac{3 \cdot 2!}{1!2!} \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{2!7!} = 3 \cdot 36 = 108}$


CASO III: três bolas amarelas retiradas.

d1: combinar três bolas amarelas tomadas três a três;
d2: combinar 9 bolas que não são amarelas tomadas uma a uma.

Daí, pelo PFC,

$\mathsf{C_{3}^{3} \cdot C_{9}^{1} = \frac{3!}{0!3!} \cdot \frac{9 \cdot 8!}{1!8!} = 1 \cdot 9 = 9}$


 Assim, pelo princípio aditivo, tiramos que:

$\\ \mathsf{252 + 108 + 9 =} \\\\ \mathsf{369}$


 Por fim, aplicamos a definição de probabilidade. Segue,

$\\ \mathsf{\frac{369}{495} =} \\\\ \mathsf{\frac{41 \cdot 9}{55 \cdot 9} =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{41}{55}}}}$


 Quanto ao item b), fazemos:

$\\ \mathsf{1 - \frac{41}{55} =} \\\\ \mathsf{\frac{55}{55} - \frac{41}{55} =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{14}{55}}}}$