Question

Retas e Planos - Geometria Analitica

Answer 1

1 - 

a)

$A=(3,1,2) \\ \\ v=AB \\ \\ v=B-A \\ \\ v=(1,-2,-3) \\ \\ \boxed{\boxed{r: \, x=(3,1,2)+ \lambda(1,-2,-3))}}$

b)

$A=(3,1,2) \\ \\ u=AB \\ \\ u=B-A \\ \\ u=(1,-2,-3) \\ \\ \cdots \cdots \\ \\ v=AC \\ \\ v=C-A \\ \\ v=(-1,-1,0)$

Uma equação vetorial e paramétrica do plano π:

$\pi: \, x=(3,1,2)+ \lambda(1,-2,-3)+ \mu (-1,-1,0) \\ \\ \\ \pi: \, \left[\begin{array}{ccc}x=3+\lambda-\mu\\y=1-2\lambda-\mu\\z=2-3\lambda\end{array}\right$

Uma equação geral do plano π:

$\left[\begin{array}{ccc}x-3&y-1&z-2\\1&-2&-3\\-1&-1&0\end{array}\right] = -3x+3y-3z+12$

2 - 

a)

Uma equação vetorial, geral e um vetor normal ao plano π1 respectivamente:

$\pi_{1} : \, x = (1,0,2)+\lambda(-1,3,2)+\mu(2,-1,-2) \\ \\ \\ \pi_{1}: \left[\begin{array}{ccc}x-1&y&z-2\\-1&3&2\\2&-1&-2\end{array}\right] = -4x+2y-5z+14 \\ \\ \\ n_{1}=(-4,2,-5)$

Uma equação vetorial, geral e um vetor normal ao plano π2 respectivamente:

$\pi_{2}: \, x=(0,1,2)+\lambda(2,0,1)+\mu(3,1,0) \\ \\ \\ \pi_{2}: \left[\begin{array}{ccc}x&y-1&z-2\\2&0&1\\3&1&0\end{array}\right]=-x+3y+2z-9 \\ \\ \\ n_{2}=(-1,3,2)$

Os planos são concorrentes porque seus vetores normais não são paralelos, ou proporcionais.

Perceba também que N1 · N2 = 0, o que significa que os planos formam um ângulo de 90º entre si.

b)

Uma equação paramétrica e vetorial da reta r1:

$r_{1}: \left[\begin{array}{ccc}x=3+3\lambda\\y=1+2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ r_{1}: \, x=(3,1,0)+\lambda(3,2,1)$

Uma equação paramétrica e vetorial da reta r2:

$r_{2}: \left[\begin{array}{ccc}x=3+5\lambda\\y=1+\lambda\\z=3\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ r_{2}: \, x=(3,1,0)+\lambda(5,1,3)$

Os vetores diretores das retas não são proporcionais, o que significa que as retas só podem ser concorrentes.

E o angulo entre elas é dado a partir de seus vetores diretores:

$\displaystyle \cos \theta = \frac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||} \\ \\ \\ \cos \theta = \frac{(3,2,1) \cdot (5,1,3)}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{5^{2}+1^{2}+3^{2}}} \\ \\ \\ \cos \theta = \frac{20}{\sqrt{490}} \\ \\ \\ \arccos(\frac{20}{\sqrt{490}}) \approx 25,38^{o}$

Para o ponto de interseção entre elas considere a igualdade:

$3+3\lambda=3+5\lambda \\ \\ 3+3\lambda-3-5\lambda=0 \\ \\ -2\lambda=0 \\ \\ \lambda=0$

Se λ = 0, então temos na equação paramétrica da reta r1:

$r_{1}: \left[\begin{array}{ccc}x=3+3\lambda\\y=1+2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right \\ \\ \\ r_{1}: \left[\begin{array}{ccc}x=3+ 3 \cdot 0\\y=1+2\cdot 0\\z=0\end{array}\right \\ \\ \\ r_{1}: \left[\begin{array}{ccc}x=3\\y=1\\z=0\end{array}\right \\ \\ \\ r_{1} \cap \ r_{2} \, \, \therefore \, \, p=(3,1,0)$

A interseção ocorre em p = (3,1,0)