Question

Respostas pra essa de limites ?

Answer 1

Resposta:

também queria saber mas não entendi

Explicação passo-a-passo:

tudo bem!

Answer 2

Resposta:

O limite é 3

Explicação passo a passo:

C ) Limite quando x → 1  ( x tende para 1 )

$lim_{ x \to 1 } (\dfrac{2x^3-5x^2+10x-7}{x^2-1} )$

1a Etapa

Substituir x por 1 , pois é o valor para que tende o x

$\dfrac{2*1^3-5*1^2+10*1-7}{1^2-1}$

$\dfrac{2-5+10-7}{1-1} = \dfrac{2+10-5-7}{0} =\dfrac{12-12}{0} =\dfrac{0}{0}$

$\dfrac{0}{0}$        é uma indeterminação.

Não pode ser calculado, diretamente.

A Indeterminação no cálculo dos Limites ocorre quando , ao calcular

limites de uma expressão nos aparece, por exemplo :

$\dfrac{0}{0}$        

Neste caso o que pretendemos fazer é decompor em fatores  o

numerador  e o denominador.

2ª Etapa

Decomposição em fatores o numerador e o denominador da fração.

Para isso necessitamos de conhecer os zeros de cada um.

Comecemos pelo denominador, pois é um função do 2º grau

x² - 1 = 0

x² = 1

x = + √1        ∨      x = - √1  

x = + 1          ∨     x = - 1

O denominador fica decomposto em

( x - uma raiz )  * ( x - outra raiz )

( x - 1 )  * ( x + 1 )    ← denominador decomposto em fatores

Tratemos agora do numerador

Para determinar os zeros da expressão no numerador podemos usar cada

um dos zeros do denominador e ver qual deles anula a expressão no

numerador.

Mas nem precisamos de testar os dois valores, pois quando x = 1 já se viu

que o numerador vem igual a zero.

x = 1   é um zero do numerador

Precisamos de encontrar os outros zeros números reais, se existirem, no

numerador.

Usemos o Algoritmo de Briot - Rufini

Mas vou usar um esquema que me parece mais fácil de entender

x = 1 logo um dos zeros do polinómio 2x³ - 5 x² + 10x - 7

  ↓  

  ↓     |  aqui coloco os coeficientes do polinómio 2x³ - 5 x² + 10x - 7

  1      |

----------|-------------------------------------------------------

          |

1 é o zero já encontrado para o polinómio do numerador

          |  2      - 5            +  10           - 7

  1      |  ↓      ( 1 * 2 )

----------|--↓-----------------------------------------------------

          | 2

A primeira posição, à esquerda, abaixo da linha a tracejado é o valor do

coeficiente de x³ , que é 2.

Copiou-se para baixo.

De seguida um processo que se vai repetir.

Por baixo do - 5  , coloca-se o produto de 1 por 2.

E soma-se na vertical , dando - 3

          | 2      - 5            +  10               - 7

  1      |            2

----------|-------------------------------------------------------

          | 2     ( - 5 + 2 )

          |  2      - 5            +  10                - 7

  1      |            2            ( 1 * ( - 3))

----------|-------------------------------------------------------

          | 2       - 3

Repetição do processo

          |   2       - 5           +  10                - 7

  1      |             2              - 3                ( 1 * 7)

----------|-------------------------------------------------------

          | 2       - 3               7

Repetição do processo

          |   2       - 5           +  10                - 7

  1      |             2              - 3                    7

----------|-------------------------------------------------------

          | 2       - 3               7            |        0

Repare que o valor mais à direita , por baixo da linha a tracejado, tem

que dar zero pois 1 é um dos zeros do polinómio 2x³ - 5 x² + 10x - 7.

Se não der algo estará errado nos cálculos.  

2       - 3         7    

são os coeficientes de um polinómio de grau  2 ( grau do polinómio no

numerador menos o grau no polinómio do denominador, logo 3 - 1 = 2 )

Por isso o polinómio do terceiro grau é baixado de um grau

2x² - 3x + 7

Encontrar os zeros deste polinómio pode-se recorrer à Fórmula de

Bhaskara

x = ( - b ± √Δ) /2a       com Δ = b² - 4*a*c   e   a ≠ 0

2x² - 3x + 7

a =   2  

b = - 3

c =   7

Δ = ( - 3 )² - 4 * 2 * 7 = 9 - 56 = - 47

Como o Δ é negativo, logo Δ < 0 , esta expressão não tem zeros reais.

Assim numerador decomposto em :

( x - 1 ) * ( 2x² - 3x + 7 )

3ª Etapa  - Simplificar a fração inicial

$lim_{ x \to 1 } (\dfrac{( x - 1 ) * ( 2x^2 - 3x + 7 )}{(x-1)*(x+1)} )$    

O ( x- 1 ) do numerador cancela-se com o ( x - 1 ) do denominador.

$lim_{ x \to 1 } (\dfrac{ ( 2x^2 - 3x + 7 )}{(x+1)} )$

4 ª Etapa - Substituir x pelo valor para que tende  ( x → 1 )

 $\dfrac{ ( 2*1^2 - 3*1+7) }{(1+1)}$

 $\dfrac{( 2 - 3+7 )}{2}=\dfrac{9-3}{2} =\dfrac{6}{2} = 3$

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Verificação da decomposição em fatores do numerador da fração

( x - 1 ) * ( 2x² - 3x + 7 ) = x * 2x² - 3x * x + 7 * x - 2x² + 3x - 7

2x³ - 3x² + 7 x - 2x² + 3x - 7

2x³ - 3x² - 2x²  + 7 x + 3x - 7  

2x³ - 5x²   + 10 x  - 7    verificado e correto

Bons estudos.

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( * ) multiplicação          ( / )  divisão