Question

resposta é a letra ....

a) x²/2 cos 5x - sen 5x + C

b) -x²/10 sen 5x + C

c) -x²/2 sen 5x + C

d) -x/5 cos 5x + 1/25 sen 5x + C

e) -x/5 sen 5x + 1/25 cos 5x + C

Answer 1

$\displaystyle\int x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx\\\\\\ =\int \dfrac{1}{5}\cdot 5x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx\\\\\\ =\int \dfrac{1}{5}\,x\,\mathrm{sen\,}5x\cdot 5\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Método de integração por partes:

$\bullet\;\;u$ geralmente é uma função que fica mais simples ao ser derivada, ou ao menos não mais complicada

$\bullet\;\;dv$ é o diferencial que fica mais simples ao ser integrado, ou ao menos não mais complicado.

(Essa regra funciona em muitos casos, mas não em todos, ok?)

_________________

Então, uma escolha adequada para $u$ e $dv$ seriam:

$\begin{array}{lcl} u=\dfrac{1}{5}\,x&~\Rightarrow~&du=\dfrac{1}{5}\,dx\\\\ dv=\mathrm{sen\,}5x\cdot 5\,dx&~\Leftarrow~&v=-\cos 5x \end{array}\\\\\\\\ \displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\\\ \int \dfrac{1}{5}\,x\,\mathrm{sen\,}5x\cdot 5\,dx=-\,\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x-\int (-\cos 5x)\cdot \dfrac{1}{5}\,dx\\\\\\ \int x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx=-\,\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{5}\int \cos 5x\,dx\\\\\\ \int x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx=-\,\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{5}\int \dfrac{1}{5}\cdot 5\cos 5x\,dx\\\\\\ \int x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx=-\,\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{25}\int \cos 5x\cdot 5\,dx$



$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int x\,\mathrm{sen\,}5x\,dx=-\,\dfrac{1}{5}\,x\cos 5x+\dfrac{1}{25}\,\mathrm{sen\,}5x+C \end{array}}$


Resposta: alternativa d)


Bons estudos! :-)