Question

resposta da questao se i é a unidade imaginaria, determine em cada caso o valor de A=i+i²+i³+..

Answer 1

$A=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+...+i^{49}+i^{50}$

Veja que essa soma é a soma de n termos de uma progressão geométrica de razão 'i'

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{i^{2}}{i}=i$

Vamos descobrir quantos termos tem essa P.G (embora seja perceptível que são os 50 primeiros termos):

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\\\\i^{50}=i\cdot i^{n-1}\\\\i^{50}=i^{n}\\\\\boxed{\boxed{n=50}}$
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Portanto, 'A' é a soma dos 50 primeiros termos da P.G

$A=S_{50}\\\\\\A=\dfrac{a_{1}(q^{50}-1)}{q-1}\\\\\\A=\dfrac{i(i^{50}-1)}{i-1}$

50 ÷ 4 = 12 + 2 de resto

Logo, $i^{50}=i^{2}=-1$
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Voltando:

$A=\dfrac{i(i^{50}-1)}{i-1}=\dfrac{i(-1-1)}{i-1}\\\\\\A=\dfrac{-2i}{i-1}$

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

$A=\dfrac{-2i(-i-1)}{(i-1)(-i-1)}\\\\\\A=\dfrac{2i(i+1)}{(-1+i)(-1-i)}\\\\\\A=\dfrac{2(i^{2}+i)}{(-1)^{2}-i^{2}}\\\\\\A=\dfrac{2(-1+i)}{1-(-1)}\\\\\\A=\dfrac{2(i-1)}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{A=i-1}}$