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Answer 1

Olá, Isa!

Um dos modos de resolver essa equação é a seguinte.

Desenvolvimento 1:
$3x^2+5x+4=2\sqrt{3x^2+5x+7}\\\\(3x^2+5x+4)^2=(2\sqrt{3x^2+5x+7})^2\\\\9x^4+30x^3+49x^2+40x+16=4(3x^2+5x+7)\\\\9x^4+30x^3+49x^2+40x+16=12x^2+20x+28\\\\9x^4+30x^3+37x^2+20x-12=0$

Desenvolvimento 2:
$3x^2+5x+4=2\sqrt{3x^2+5x+7}\\\\x(3x+5)+4=2\sqrt{x(3x+5)+7}\\\\{[}x(3x+5)+4{]}^2={[}2\sqrt{x(3x+5)+7}{]}^2\\\\x^2(3x+5)^2+8x(3x+5)+16=4(x(3x+5)+7)\\\\x^2(3x+5)^2+8x(3x+5)+16=4x(3x+5)+28\\\\x^2(3x+5)^2+4x(3x+5)-12=0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara para (3x+5), em que: a = x²; b = 4x; e c = -12.
$(3x+5)=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\3x+5=\dfrac{-4x\pm\sqrt{(4x)^2-4(x^2)(-12)}}{2(x^2)}\\\\3x+5=\dfrac{-4x\pm\sqrt{16x^2+48x^2}}{2x^2}\\\\3x+5=\dfrac{-4x\pm8x}{2x^2}\\\\3x+5=\dfrac{-2\pm4}{x}\\\\\begin{matrix}3x+5=\dfrac{-2+4}{x}\\\\(I)\ \ 3x^2+5x-2=0\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}3x+5=\dfrac{-2-4}{x}\\\\(II)\ \ 3x^2+5x+6=0\end{matrix}$

Observe que:
(3x² + 5x - 2)(3x² + 5x + 6) = 9x⁴ + 30x³ + 37x² + 20x - 12
Então, as raízes de (I) e de (II) são raízes da equação em questão.
$\begin{matrix}3x^2+5x-2=0\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{3}}\qquad\boxed{{x}=-2}\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}3x^2+5x+6=0\\\\x=\dfrac{-5\pm{i}\sqrt{47}}{6}\end{matrix}$

Como são pedidas as raízes pertencentes ao campo dos números reais, a solução da equação é:
$\boxed{\boxed{S=\left\{-2,\,\dfrac{1}{3}\right\}}}$

Ótima questão. Abriu minha mente.
Bons estudos, Isa!