Question

RESPONDA SE SOUBER E BEM EXPLICADO
SE NÃO EU DENUNCIO E EXCLUO A RESPOSTA
VALENDO 100 PONTOS

Quantas são as sequências de 4 letras escolhidas entre as 26 letras do alfabeto


1-com a letra na primeira posição?


2-sem letras repetidas?


3-com pelo menos uma letra repetida?


4-que contêm exatamente três letras iguais?


5-que são a mesma se lidas da esquerda para a direita e da direita para a esquerda?

SÓ RESPONDE SE SOUBER, SE NÃO EU MANDO UM MODERADOR APAGAR A RESPOSTA.

Answer 1

1-Se a letra a estiver na primeira posição, temos somente três espaços vazios, sendo que temos a possibilidade de  letras para cada espaço. Assim, a resposta é 26^3=17576.


2-Sem letras repetidas, temos 26 escolhas para a letra que ocupará a primeira posição. Uma vez escolhida a letra que ocupará a primeira posição, restam 25 escolhas para a letra que ocupará a segunda posição, e assim por diante. Assim, a resposta é 26*25*24*23=358800 .


3-Sem restrição alguma, por um raciocínio análogo ao usado no item (1), há 26^4=456976 sequências. No item (2), foi obtido que há 358800 sequências sem repetições de letras. Como uma sequência tem pelo menos um letra repetida se, e somente se, ela não é uma sequência sem repetições de letras, então há 456976-358800=98176 sequências com pelo menos uma letra repetida.


4-Há 26 escolhas possíveis para a letra que não será a repetida. Uma vez escolhida a letra que não será repetida, há 4 escolhas possíveis para a sua posição na sequência. Uma vez feita as duas escolhas anteriores, há 25 escolhas possíveis para a letra repetida que ocupará as três posições restantes. Assim, a resposta é 26*4*25=2600 .


5-Há duas possibilidades de sequências neste item: aquelas com todas as letras iguais e aquelas como a sequência abba, ou seja, com letras iguais na primeira e quarta posições, com letras iguais na segunda e terceira posições, mas sendo diferentes as letras na primeira e segunda posições. No primeiro caso, há 26 sequências, uma vez que basta escolher a letra que ficará repetida em todas as posições. No segundo caso, há 26 escolhas possíveis para a letra que ocupará a primeira e quarta posições da sequência e, uma vez escolhida esta letra, restam 25 escolhas possíveis para a letra que ocupará a segunda e terceira posições da sequência, resultando em um total de 26*25=650 sequências. Assim, a resposta é 26+650=676 .

Answer 2

1) Para a segunda, terceira e quarta posições há $26$ possibilidades. Assim, o número de sequências é $26\cdot26\cdot26=17576$

2) Para a primeira letra há 26 possibilidades, para a segunda 25, para a terceira 24 e para a quarta 23. O número de sequências sem letras repetidas é $26\cdot25\cdot24\cdot23=358800$

3) O número total de sequências é $26\cdot26\cdot26\cdot26=456976$. O número de sequências sem letras repetidas é $358800$. Portanto, a quantidade de sequências com pelo menos uma letra repetida é $456976-358800=98176$ sequências com pelo menos uma letra repetida.

4) Há $26$ possibilidades para a letra que irá se repetir e $4$ possibilidades para a sua disposição (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4) e (2, 3, 4). E há 25 possibilidades para a letra restante. O número de sequências com exatamente três letras iguais é $26\cdot4\cdot25=2600$

5) O primeiro caso é aquele em que todas as letras são iguais. São 26 possibilidades; O segundo caso é aquele em que a primeira letra é igual a quarta e a segunda é igual a terceira. Nesse caso, há 26 possibilidades para a primeira letra (que já determina a quarta letra) e 25 possibilidades para a segunda letra, já determinando a terceira letra. Neste segundo caso, são $26\cdot25=650$ sequências. A resposta é $26+650=676$