Question

RESPONDA SE SOUBER E BEM EXPLICADO
SE NÃO EU DENUNCIO E EXCLUO A RESPOSTA
VALENDO 100 PONTOS
Sejam a e b números inteiros tais que mdc(a,4)=mdc(b,4)=2 . Calcule mdc(a+b,4).
SÓ RESPONDE SE SOUBER, SE NÃO EU MANDO UM MODERADOR APAGAR A RESPOSTA.

Answer 1

Temos mdc(a, 4) = 2 e mdc(b, 4) = 2. Concluímos que a e b são números pares e não são múltiplos de 4 , pois se o fossem, 2 não seria o mdc entre eles. Logo o resto da divisão de a e b por 4 é 2. Assim a = 4q 1 + 2 e b = 4q2 + 2. Somando membro a membro estas desigualdades, temos a + b = 4q1 + 2 + 4q2 + 2 ou a + b = 4 (q1 + q2 + 1). Logo, 4 | (a + b) e por conseguinte mdc(a + b, 4) = 4.

espero ter ajudado

Answer 2

Temos que $mdc(a,4)=2$, assim, $a$ não é divisível por $4$, mas é par.

Analogamente, sendo $mdc(b,4)=2$, concluímos que $b$ é par, mas não é divisível por $4$.

O resto da divisão de um número por $4$ só pode ser $0,1,2$ ou $3$.

Se um número é par, o resto de sua divisão por $4$ só pode ser $0$ ou $2$.

Com isso, podemos afirmar que o resto da divisão de $a$ e de $b$ por $4$ é $2$.

Deste modo, $a=4m+2$ e $b=4n+2$, logo

$a+b=4m+2+4n+2=4m+4n+4=4(m+n+1)$ e portanto, o resto divisão de $a+b$ por $4$ é $0$.

$a\equiv2\pmod{4}, \ \ b\equiv2\pmod{4}$

$a+b\equiv2+2\equiv4\equiv0\pmod{4}$

E assim, $mdc(a+b,4)=4$