Question

Responda as seguintes questões a respeito da função f(x) = 1/x^3-x :    
$\frac{1}{ x^{3}-x}$:

a) Determine o domínio de f;
b) Calcule f ' e f ' ' ;
c) Faça um estudo do sinal de f ' e com estas informações explique onde f é crescente e decrescente.
d) Calcule os limites laterais para os pontos que podem ter assíntota vertical, e também os limites quando x ⇒ +/-

∞

;
e) Com estas informações fazer um esboço do gráfico de f.

Answer 1

f(x) = 1 / (x³ - x)
a) Determine o domínio de f
o denominador deve ser diferente de zero
x³ - x = 0
x(x²-1) = 0 ==> x = 0 ou
x² - 1 = 0
x² = 1 ==> x = 1 ou x = -1
Dominio : x ∈ ℝ  - { 0 ; -1 ; 1}

b) Calcule f' e f"

derivada de 1/g = -g' / g²
f'(x) = -(3x² - 1) / (x³ - x)²

derivada de f/g = f1g - fg' / g²
f"(x) = [-6x(x³-x)² + (3x²-1)2(x³-x)(3x²-1)] / (x³-x)⁴
f"(x) = [-6x(x³-x) + 2(3x² - 1)²] / (x³ - x)³

c) Faça um estudo do sinal de f ' e com estas informações explique onde f é crescente e decrescente.

f'(x) = -(3x² - 1) / (x³ - x)²
numerador : raizes : -√3/3 e √3/3
denominador : sempre > 0 exceto nas raizes : -1 , 0 , 1 (calculadas no item a)
num. - - - - - (-√3/3) + + + + + + (√3/3 ) - - - - - -
den..+ + (-1) + + + + + + (0) + + + + + + + (1) + +
f'(x) - - - - - - (-√3/3) + + + + + + (√3/3 ) - - - - - -
f'(x)  decres.  (-√3/3) crescente (√3/3 ) decrescente
(dentro do dominio)

d) Calcule os limites laterais para os pontos que podem ter assíntota vertical, e também os limites quando x ⇒ +/- ∞
Para as assintotas, achar as raizes do numerador de f" (x) que são os pontos onde pode haver mudança da concavidade. (mudança do sinal de f').
 quando x ~> -∞  , f(x) ~> -0 (tende a zero por valores negativos)
x ~ > +∞ , f(x) ~> +0 (idem positivos)

e) Com estas informações fazer um esboço do gráfico de f.
è só verificar o que acontece com f(x) nas imediaçoes das raizes, marcar os pontos criticos acima e plotar mais alguns pontos