Question

responda a equação log 3(5x-1)= log 9(3x-7)

Answer 1

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Resolver a equação logarítmica:

$\mathsf{\ell og_3(5x-1)=\ell og_9(3x-7)}$


•   Determinando as condições de existência para a solução da equação:

Logaritmandos devem ser sempre positivos. Então, devemos ter

$\begin{array}{rcl} \mathsf{5x-1>0}&~\textsf{ e }~&\mathsf{3x-7>0}\\\\ \mathsf{5x>1}&~\textsf{ e }~&\mathsf{3x>7}\\\\ \mathsf{x>\dfrac{1}{5}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{x>\dfrac{7}{3}} \end{array}$


Como $\mathsf{\dfrac{7}{3}>\dfrac{1}{5},}$ basta que tenhamos

$\mathsf{x>\dfrac{7}{3}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{condi\c{c}\~ao de exist\^encia.}$

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Resolvendo a equação:

$\mathsf{\ell og_3(5x-1)=\ell og_9(3x-7)}$


Vamos reescrever todos os logaritmos na mesma base. Aplicando a lei de mudança de base no lado direito, ficamos com

$\mathsf{\ell og_3(5x-1)=\dfrac{\ell og_3(3x-7)}{\ell og_3\,9}}\\\\\\ \mathsf{\ell og_3(5x-1)=\dfrac{\ell og_3(3x-7)}{\ell og_3(3^2)}}\\\\\\ \mathsf{\ell og_3(5x-1)=\dfrac{\ell og_3(3x-7)}{2}}\\\\\\ \mathsf{2\,\ell og_3(5x-1)=\ell og_3(3x-7)}$


Aplicando a propriedade do logaritmo de uma potência,

$\mathsf{\ell og_3\big[(5x-1)^2\big]=\ell og_3{(3x-7)}}\\\\ \mathsf{\ell og_3(25x^2-10x+1)=\ell og_3{(3x-7)}}$


Nesta igualdade de logaritmos, as bases são iguais. Aqui, os logaritmandos também devem ser iguais:

$\mathsf{25x^2-10x+1=3x-7}\\\\ \mathsf{25x^2-10x+1-3x+7=0}\\\\ \mathsf{25x^2-10x-3x+1+7=0}\\\\ \mathsf{25x^2-13x+8=0}\quad\rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=25}\\\mathsf{b=-13}\\\mathsf{c=8} \end{array} \right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-13)^2-4\cdot 25\cdot 8}\\\\ \mathsf{\Delta=169-800}\\\\ \mathsf{\Delta=-631<0}$


Como o discriminante $\mathsf{\Delta}$ da equação é negativo, a equação não possui soluções reais.


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\varnothing}$     (conjunto vazio)


Bons estudos! :-)


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