Question

Responda: 7) Seja n∈{R} tal que; $\frac{1+2+3+4+...+n}{(n+1)!} =\frac{1}{240\left}$, então o valor de n é:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$1+2+3+4+...+n=\dfrac{(n+1).n}{2}\\\\(n+1)!=(n+1).n.(n-1)!\\\\substituindo\\\\\\\dfrac{\dfrac{(n+1).n}{2}}{(n+1).n.(n-1)!}=\dfrac{1}{240}\\\\\\\dfrac{(n+1).n}{2.(n+1).n.(n-1)!}=\dfrac{1}{240}\\\\\\Simplificando\\\\\\\dfrac{1}{(n-1)!}=\dfrac{1}{120}\\\\(n-1)!=120\\\\\\(n-1)!=5!\\\\n-1=5\\\\n=5+1\\\\\boxed{n=6}$

Answer 2

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos que:

$\boxed{ \frac{1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n}{(n + 1)!} = \frac{1}{240} }$

Note que no numerador temos a soma dos termos de uma PA, tal soma possui uma fórmula que é dada por:

$\boxed{Sn = \frac{(a1 + an).n}{2} }$

Portanto vamos substituir esse dado no numerador, mas antes temos que descobrir o valor do último termo representado por "an" e o primeiro termo representado por "a1".

Não é difícil notar que an = n e a1 = 1.

Substituindo:

$\frac{ \frac{(an + a1).n}{2}}{(n + 1)! } = \frac{1}{240} \\ \\ \frac{ \frac{(n + 1).n}{2}}{(n + 1) ! } = \frac{1}{240}$

Agora vamos desenvolver o fatorial do denominador.

$\boxed{(n + 1)! = (n + 1).n.(n - 1)!}$

Substituindo:

$\frac{ \frac{(n + 1).n}{2}}{(n + 1).n.(n - 1) ! } = \frac{1}{240}$

Resolvendo aquela divisão de frações, temos que:

$\frac{(n + 1).n}{2} . \frac{1}{(n + 1).n.(n - 1) ! } = \frac{1}{240} \\ \\ \frac{(n + 1).n}{2.(n + 1).n.(n - 1) !} = \frac{1}{240}$

Corta os termos semelhantes que no caso são (n+1).n.

$\frac{1}{2.(n - 1) !} = \frac{1}{240} \\ \\ 1.2.(n - 1)! = 240.1 \\ \\ 2(n - 1)! = 240 \\ \\ (n - 1)! = \frac{240}{2} \\ \\ (n - 1)! = 120$

Note que 120 pode ser escrito como 5!, pois:

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Substituindo:

$(n - 1)! = 5!$

Cancela fatorial com fatorial, resultando em:

$(n - 1) = 5 \\ n = 5 + 1 \\ \boxed{n = 6} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️