Question

resolver pelo método da integracao por partes.​

Answer 1

2+2sim2+d=7372820000

Answer 2

Usando integração por partes, vamos definir duas variáveis, u e v.

Para determiná-las, usamos o método LIATE:

L - Logaritmica;  I - Inversa trigonométrica; A - Algébrica; T - Trigonométrica

E - Exponencial.

Essa é a ordem de preferência para a escolha de u.

Como t² é uma função algébrica e sin(2t) é trigonométrica, então u = t². Consequentemente, dv = sin(2t).

Desse modo, temos:

$\int\limits^{2\pi} _0 {u} \, dv = uv - \int\limits^{2\pi} _0 {v} \, du$

u = t²  => du = 2t.  

dv = sin(2t)  => v = -cos(2t)/2.

Logo,

$\int\limits^{2\pi} _0 {t^2sin(2t)} \, dt = t^2*(-\frac{cos(2t)}{2}) - \int\limits^{2\pi} _0 {(-\frac{cos(2t)}{2})}*2t \, dt \\\\\int\limits^{2\pi} _0 {t^2sin(2t)} \, dt =-\frac{t^2cos(2t)}{2} + \int\limits^{2\pi}_0 {t*cos(2t)} \, dt$

Note que temos uma nova integral que precisaremos resolver por partes também:

u = t  =>  du = 1

dv = cos(2t)  =>  v = sin(2t)/2

$\int\limits^{2\pi} _0 {t*cos(2t)} \, dt = \frac{t*sin(2t)}{2} - \int\limits^{2\pi} _0 {\frac{sin(2t)}{2} } \, dt$

Essa ultima integral gerada é facilmente resolvida e é igual a $\frac{cos(2t)}{4}$

Unindo todos os resultados, temos:

$\int\limits^{2\pi} _0 {t^2sin(2t)} \, dt = [-\frac{t^2cos(2t)}{2} + \frac{t*sin(2t)}{2} - \frac{cos(2t)}{4}]\limits^{2\pi} _0$

Substituindo os limites de integração em t, temos:

$\int\limits^{2\pi} _0 {t^2sin(2t)} \, dt = [-\frac{4\pi^2cos(4\pi)}{2} + \frac{2\pi*sin(4\pi)}{2} - \frac{cos(4\pi)}{4}] - [-0 + 0 -\frac{cos(4\pi)}{4} ]$

$\int\limits^{2\pi} _0 {t^2sin(2t)} \, dt = -2\pi^2$

Bons estudos!