Matemática, perguntado por GowtherBr, 3 meses atrás

Resolver o sistema de congruências lineares.

$\left \{ {{x \ \equiv \ 15(mod12)} \atop {x\ \equiv \ 7(mod17)}} \right.$

Lukyo: Segue forma alternativa de resolução:

x ≡ 15 (mod 12)
x ≡ 7 (mod 17)

A primeira congruência do sistema pode ser simplificada para o menor representante positivo da classe, módulo 12:

x ≡ 15 − 12 (mod 12)
x ≡ 7 (mod 17)

x ≡ 3 (mod 12) (i)
x ≡ 7 (mod 17) (ii)

Lukyo: Devemos fazer aparecer o mmc(12, 17) = 204 nos módulos das congruências. Então, multiplicando todos os termos por da congruência (i) por 17, e os termos da congruência (ii) por 12, obtemos

17x ≡ 51 (mod 204) (iii)
12x ≡ 84 (mod 204) (iv)

Lukyo: Encontremos m, n inteiros tais que

   17m − 12n = 1     (v)

Podemos resolver a equação acima mentalmente, apenas buscando dentre os múltiplos de 12 aquele que seja ANTECESSOR de algum múltiplo de 17.

Vemos que

12 · 7 = 84
   ⟺   12 · 7 + 1 = 84 + 1 = 85
   ⟺   12 · 7 + 1 = 17 · 5

Então o par (m, n) = (5, 7) é uma solução para a equação (v), pois

   17 · 5 − 12 · 7 = 1

Lukyo: Sendo assim, multiplique ambos os membros da congruência (iii) por 5, e ambos os membros da congruência (iv) por 7:

5 · 17x ≡ 5 · 51 (mod 204)
7 · 12x ≡ 7 · 84 (mod 204)

85x ≡ 255 (mod 204)
84x ≡ 588 (mod 204)

Reduza o segundo membro das congruências para os menores representantes positivos da classe:

85x ≡ 255 − 204 (mod 204)
84x ≡ 588 − 408 (mod 204)

85x ≡ 51 (mod 204)
84x ≡ 180 (mod 204)

Lukyo: Subtraia membro a membro as duas congruências acima:

   ⟺   85x − 84x ≡ 51 − 180 (mod 204)
   ⟺   (85 − 84)x ≡ − 129 (mod 204)
   ⟺   x ≡ − 129 ≡ − 129 + 204 (mod 204)
   ⟺   x ≡ 75 (mod 204)   ⟵   resposta.

Soluções para a tarefa

Respondido por jhonatasouzasilva

Resposta:

$x \equiv 75 \, (mod \, 204)$

Explicação passo a passo:

$\left \{ {{x \equiv 15\, (mod \, 12)} \atop {x \equiv 7} \, (mod \, 17)} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x \equiv 3\, (mod \, 12)} \atop {x \equiv 7} \, (mod \, 17)} \right.$

Usei o Teorema Chinês do Resto, ele diz que a solução desse sistema será

$x=3.17.m_{17}+7.12.m_{12}$

Devo achar o $m_{17}$ e o $m_{12}$ . Conforme o teorema, temos:

$17.m_{17} \equiv 1\, (mod \, 12) \implies m_{17}=5 \\ {12.m_{12} \equiv 1} \, (mod \, 17) \implies m_{12}=10$

Substituindo no x:

$x=3.17.5+7.12.10=255+840=1095$

$\implies x \equiv 1095 \, (mod \, 12.17) \Leftrightarrow x \equiv 1095 \, (mod \, 204) \therefore \boxed{x \equiv 75 \, (mod \, 204)}$

Respondido por gabrielcguimaraes

Primeiramente, deixemos as congruências no mesmo módulo. Como 17 e 12 são primos entre si, o MMC destes é diretamente $17 \cdot 12 = 204$ :

$x \equiv 15 \pmod {12}\\17x \equiv 255 \pmod {204}\\\\x \equiv 7 \pmod {15}\\12x \equiv 84 \pmod {204}\\12x + 171 \equiv 255 \pmod {204}$

Logo:
$17x \equiv 12x + 171\pmod {204}\\5x \equiv 171 \pmod {204}$

Em aritmética modular existe o conceito de classe inversa, que corresponde a um conjunto de números que, neste caso, quando multiplicados por 5, deixam resto 1, mod 204. É precisamente deste representante da classe inversa que precisamos para isolar o 5, já que o produto que consigamos pode ser simplificado para 1, portanto deixando-nos somente com 1x (essencialmente isolando x). Chamando de q este representante, temos que, como dito acima:
$5q \equiv 1 \pmod {204}$

Ou também:
$5q = 204k + 1$

Desse modo, tenho que encontrar um múltiplo de 204 que, quando somado a 1, resulte em um múltiplo de 5. Este caso é bem evidente, visto que diretamente $204 + 1 = 205$ , que é múltiplo de 5. Logo:
$5q = 204k + 1\\5q = 204 \cdot 1 + 1\\5q = 205\\q = 41$

Portanto o 41 é um representante da classe inversa de 5, mod 77. Continuando:

$5x \equiv 171 \pmod {204}\\41(5x) \equiv 41 \cdot 171 \pmod {204}\\205x \equiv 7011 \pmod {204}\\204x + x \equiv 204 \cdot 34 + 75 \pmod {204}$

É uma propriedade das congruências que podemos somar ou subtrair produtos do módulo em qualquer lado da congruência, sem alterá-la. Portanto, subtraindo os produtos de 204, temos que:

$x \equiv 75 \pmod {204}$