Question

Resolver o problema de valor inicial y'+2xy^2=0 para y(1)=2 e encontre a sua solução particular (EDO)

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf\frac{dy}{dx} + 2xy {}^{2} = 0$

Essa equação é variáveis separáveis, então:

$\sf \frac{dy}{dx} = - 2xy {}^{2} \: \: \to \: \: \frac{dy}{ y {}^{2} } = - 2x \: dx$

Integrando ambos os lados:

$\sf \int \frac{dy}{y {}^{2} } = \int - 2x \: dx \: \: \to \: \: \int y {}^{ - 2} dy = \int - 2x \: dx \\ \\ \sf \frac{y {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} + c_{1} = - x {}^{2} + c_{2 } \: \: \to \: \: - \frac{1}{y} = - x {}^{2} + c_{2} - c_{1} \\ \\ \sf - \frac{1}{y} = - x {}^{2} + c \: \: \to \: \: \frac{1}{y} = x {}^{2} - c \: \: \to \: \: \boxed{ \sf y = \frac{1}{x {}^{2} - c } }$

A questão informa que y(1) = 2, então:

$\sf 2 = \frac{1}{1 {}^{2} - c} \: \: \to \: \: 2 = \frac{1}{1 - c} \\ \\ \sf 2.(1 - c) = 1 \: \to \: \: 2 - 2c = 1 \\ \\ \sf - 2c = 1 - 2 \: \: \to \: \: - 2c = - 1 \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{\sf c = \frac{1}{2} }}$

Substituindo o valor de c:

$\sf y = \frac{1}{{x}^{2} - \frac{1}{2} } \: \: \to \: \: y = \frac{1}{ \frac{2x {}^{2} - 1 }{2} } \\ \\ \sf y = \frac{1}{1} . \frac{2}{2x {}^{2} - 1} \: \: \to \: \: \boxed{ \boxed{ \sf y = \frac{2}{2x {}^{2} - 1} }}$

Espero ter ajudado