Question

Resolver o problema de valor inicial (PVI) - EDO
Ajuda??

Answer 1

O resultado do PVI é

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}y =\frac{2}{2x^2-1 }\end{gathered}$

Para resolver um PVI é muito simples, basta primeiramente calcularmos aquela equação diferencial, após isso, com a outra informação dada, calculamos então o valor da constante

No caso, para resolver sua equação diferencial, iremos utilizar o método da separação de variaveis camando primeiramente y' de dy/dx, logo

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'+2xy^2=0\end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{dy}{dx} +2xy^2=0\end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{dy}{dx} =-2xy^2\end{gathered}$

Multiplicando cruzado, temos

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} dy =-2xy^2dx\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{dy}{y^2} =-2xdx\end{gathered}$

Integrando agora ambos os lados da igualdade

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{dy}{y^2} =\int-2xdx\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int y^{-2}dy =-2 \cdot \int xdx\end{gathered}$

Agora devemos utilizar uma propriedade de integração. Seja a função $\large\displaystyle\begin{gathered} f(x)= x^n \end{gathered}$ e queremos sua primitiva F(x), temos que:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathbb{F}(x)= \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1} + \mathbb{C}\ ,\ \forall n\neq -1 \end{gathered} }$

• Aplicando na questão, temos

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{y^{-2+1}}{-2+1} =-2 \cdot \left[\frac{x^{1+1}}{1+1}\right]+\mathbb{C}\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{y^{-1}}{-1} =-\!\diagup\!\!\!\!2 \cdot \left[\frac{x^{2}}{\!\diagup\!\!\!\!2}\right]+\mathbb{C}\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{\dfrac{1}{y} }{-1} =- x^{2}+\mathbb{C}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}-\dfrac{1}{y} =- x^{2}+\mathbb{C}\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{y =\frac{1}{x^{2}+\mathbb{C}}}\end{gathered} }$

Essa é a solução da E.D.O, para calcular a constante , basta agora substituir x por 1 e y por 2 ( como o próprio enunciado já diz ).

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}2 =\frac{1}{1^{2}+\mathbb{C}}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\cdot (1+\mathbb{C}) =1\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\mathbb{C} =1-2\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore \mathbb{C} =-\frac{1}{2}\end{gathered}$

Encontramos o valor da constante, agora é só substituir e acabou, logo

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y =\frac{1}{x^{2}+\mathbb{C}}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y =\frac{1}{x^{2}- \frac{1}{2} }\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y =\frac{1}{\frac{2x^2-1}{2} }\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \boxed{y =\frac{2}{2x^2-1 }}\end{gathered} }$

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