Question

Resolver o problema de valor inicial abaixo​

Answer 1

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$\sf\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{sen(x)}{3y}~~~com~y(\pi)=2\\\sf 3y~dy=sen(x)~dx\\\underline{\rm integrando~dos~dois~lados~temos:}\\\displaystyle\sf\int 3y~dy=\int sen(x)~dx\\\sf \dfrac{3}{2}y^2=-cos(x)+k\\\sf y^2=-\dfrac{2}{3}cos(x)+k\\\sf y(x)=\sqrt{-\dfrac{2}{3}cos(x)+k}\\\sf y(\pi)=\sqrt{-\dfrac{2}{3}cos(\pi)+k}\\\sf 2=\sqrt{-\dfrac{2}{3}\cdot(-1)+k}\\\sf 2=\sqrt{\dfrac{2}{3}+k}\\\sf \dfrac{2}{3}+k=2^2\\\sf k=4-\dfrac{2}{3}\\\sf k=\dfrac{12-2}{3}\\\sf k=\dfrac{10}{3}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y(x)=\sqrt{-\dfrac{2}{3}cos(x)+\dfrac{10}{3}}}}}}\blue{\checkmark}$

Answer 2

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre problemas de valor inicial.

Seja o problema:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin(x)}{3y},~com~y(\pi)=2$

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$3y\,dy=\sin(x)\,dx$

Integramos ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int3y\,dy=\int\sin(x)\,dx$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x),\dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral da função seno é o oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int\sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{3\cdot\int y\,dy=\int\sin(x)\,dx}$

Aplique a regra da potência e calcule a integral da função cosseno

$3\cdot\left(\dfrac{y^{1+1}}{1+1}+C_1\right)=-\cos(x)+C_2$

Some os valores no expoente e no denominador e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$3\cdot\left(\dfrac{y^2}{2}+C_1\right)=-\cos(x)+C_2\\\\\\ \dfrac{3y^2}{2}+C_3=-\cos(x)+C_2,~C_3=3C_1$

Subtraia $C_3$ em ambos os lados da equação e considere $C_2-C_3=C_4$

$\dfrac{3y^2}{2}=-\cos(x)+C_2-C_3\\\\\\ \dfrac{3y^2}{2}=-\cos(x)+C_4$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $\dfrac{2}{3}$ e considere $\dfrac{2C_4}{3}=C$

$y^2=\dfrac{2}{3}\cdot(-\cos(x)+C_4)\\\\\\ y^2=-\dfrac{2\cos(x)}{3}+C$

Utilizando a condição de contorno $y(\pi)=2$

$2^2=-\dfrac{2\cos(\pi)}{3}+C$

Calcule a potência e calcule a função cosseno $\cos(\pi)=-1$

$4=-\dfrac{2\cdot(-1)}{3}+C\\\\\\ 4=\dfrac{2}{3}+C$

Subtraia $\dfrac{2}{3}$ em ambos os lados da equação

$C=4-\dfrac{2}{3}\\\\\\ C=\dfrac{4\cdot3-2}{3}\\\\\\ C=\dfrac{12-2}{3}\\\\\\ C=\dfrac{10}{3}$

Então, teremos a solução

$y^2=-\dfrac{2\cos(x)}{3}+\dfrac{10}{3}$

Reescreva a expressão e calcule a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$y^2=\dfrac{10}{3}-\dfrac{2\cos(x)}{3}\\\\\\ y=\sqrt{\dfrac{10}{3}-\dfrac{2\cos(x)}{3}}$

Esta é a solução deste problema de valor inicial.