Question

Resolver, em R, o sistema a seguir:

log1/4( x+ y) = −1

2log2(x)+ log2(y) = 3

Alguém consegue resolver pfff??(o parênteses é pra marcar qual é o logaritimando)​

Answer 1

Resposta:

$\mathrm{S}=\{(2,\,2),\,(1+\sqrt{5},\,3-\sqrt{5})\}$

Explicação passo-a-passo:

Condições de existência:

• $x + y > 0$

• $x > 0$

• $y > 0$

Vamos reduzir o sistema:

$\begin{cases}</p><p> log_{ \frac{1}{4} }(x + y) =\ - 1 \\</p><p> 2 log_{2}(x)+ log_{2}(y) =\ 3</p><p>\end{cases} \\ \\ \begin{cases}</p><p> x + y=\ \left(\dfrac{1}{4} \right)^{ - 1} \\</p><p> log_{2}( {x}^{2} ) + log_{2}(y) =\ 3</p><p>\end{cases} \\ \\ \begin{cases}</p><p> x + y=\ {4}^{1} \\</p><p> log_{2}( {x}^{2} .y) =\ 3</p><p>\end{cases} \\ \\ \begin{cases}</p><p> x + y=\ 4 \\</p><p> {x}^{2}.y =\ {2}^{3} </p><p>\end{cases} \\ \\ \begin{cases}</p><p> x + y=\ 4 \\</p><p> {x}^{2}.y =\ 8</p><p>\end{cases}$

Com o sistema reduzido, agora podemos resolvê-lo de fato. Acompanhe:

• Na primeira equação, vamos isolar a incógnita x:

$x + y = 4 \\ \boxed{x = 4 - y}$

• Vamos substituir x por 4 - y na segunda equação:

${(4 - y)}^{2} .y = 8 \\ (16 - 8y + {y}^{2} ).y = 8 \\ 16y - 8 {y}^{2} + {y}^{3} = 8 \\ {y}^{3} - 8 {y}^{2} + 16y - 8 = 0$

• Resolvendo a equação de 3° grau, temos como raízes:

$\boxed{y_1=2} \\ \boxed{y_2=3+\sqrt{5}} \\ \boxed{y_3=3-\sqrt{5}}$

Pelas condições de existência, as três raízes são satisfatórias (individualmente).

Cálculo dos valores de x:

$\boxed{x = 4 - y}$

$x_1 = 4 - 2 \\ \boxed{x_1 = 2}$

$x_2 = 4 - (3 + \sqrt{5} ) \\ \boxed{x_2 = 1 - \sqrt{5}}$

$x_3 = 4 - (3 - \sqrt{5} ) \\ \boxed{x_3 = 1 + \sqrt{5}}$

Pelas condições de existência, apenas $x_2$ não satisfaz ao sistema, pois é um número negativo. Assim, $y_2$ também não serve (de forma geral, e não individualmente).

Portanto, a solução do sistema é:

$\boxed{\boxed{\mathrm{S}=\{(2,\,2),\,(1+\sqrt{5},\,3-\sqrt{5})\}}}$