Question

resolver, em R, as seguintes inequações- produto: a) x2-2x-8). (2x2-3x) >/=0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver, no âmbito dos Reais, a seguinte inequação, que estamos entendendo que ela esteja escrita da seguinte forma (se não estiver escrita da forma abaixo, por favor avise-nos, ok?):

(x²-2x-8)*(2x²-3x) ≥ 0


Bem, como você mesmo poderá concluir, temos aí o produto entre duas funções do 2º grau, cujo resultado deverá ser MAIOR OU IGUAL a zero.
Temos: f(x) = x²-2x-8, e temos g(x) = 2x²-3x.
Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das funções quadráticas acima. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, veremos qual é o domínio da inequação dada.
 
Então vamos lá:

f(x) = x² - 2x - 8 -----> raízes: x' = - 2; e x'' = 4

g(x) = 2x² - 3x ----> raízes: x' = 0; e x'' = 3/2 (ou "1,5", que é o resultado de 3/2 = 1,5).

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma dessas funções:

a) f(x) = x² - 2x - 8 ... ++++++(-2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4)++++++++++++
b) g(x) = 2x² - 3x ..... +++++++++++++(0)- - - - - - (3/2)++++++++++++++++++
c) a*b......................... ++++++(-2)- - - - -(0)++++++ (3/2)- - - -(4)++++++++++++

Como queremos que a o produto de f(x) por g(x) dê MAIOR OU IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre f(x) e g(x).

Assim, o domínio de (x²-2x-8)*(2x²-3x) ≥ 0 será:

x ≤ -2, ou:  0 ≤ x ≤ 3/2, ou:  x ≥ 4

Se você quiser, poderá também apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≤ -2, ou: 0 ≤ x ≤ 3/2, ou: x ≥ 4}

E, ainda se quiser, o conjunto-solução também poderá ser apresentado da forma seguinte, o que significa o mesmo:

S = (-∞; -2] U [0; 3/2] U [4; +∞)


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.