Question

Resolver em R as inequações (preciso dos gráficos com os intervalos)
a) 6x²-5x+1≤0
b) 2x²+3x+1∠-x(1+2x)

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se:

a) 6x² - 5x + 1 ≤ 0

Veja: temos aí uma função do 2º grau que queremos que seja menor ou igual a zero.
Antes de iniciar note que uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, com raízes iguais a x' e x'', a variação de sinais dessa função dar-se-á da seguinte forma:

a.i) Para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes) o sinal da função terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²).
a.ii) Para valores de "x" iguais às raízes a função será igual a zero.
a.iii) Para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), a função terá sinal contrário ao do termo "a".

Bem, tendo, portanto, o que se viu aí em cima como parâmetro, então vamos encontrar primeiro as raízes da função 6x²-5x+1 = 0. Assim, ao aplicar Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 1/3
x'' = 1/2

Agora que já temos as raízes vamos estudar a variação de sinais da inequação dada (vide a variação de sinais de uma função do 2º grau, conforme deixamos isto demonstrado antes).Assim:

6x² - 5x + 1 ≤ 0 ..+ + + + + + (1/3)- - - - - - - (1/2)+ + + + + + + + + +

Agora veja: como queremos que a inequação seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos ou igual a zero no gráfico acima. Assim, o domínio da inequação dada estará no seguinte intervalo:

1/3 ≤ x ≤ 1/2 -------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 1/3 ≤ x ≤ 1/2}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado assim, o que significa o mesmo:

D = [1/3; 1/2]

b) 2x²+3x+1 < -x*(1+2x) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro da desigualdade, teremos:

2x² + 3x + 1 < - x - 2x² ----- agora vamos passar todo o 2º membro da desigualdade para o 1º, ficando assim:

2x² + 3x + 1 + x + 2x² < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
4x² + 4x + 1 < 0

Agora vamos encontrar as raízes da equação 4x²+4x+1 = 0 e depois, em função de suas raízes, daremos a variação de sinais da inequação.
Assim, se você aplicar Bháskara na equação acima vai encontrar as seguintes raízes:

x' = x'' = - 1/2

Agora vamos à variação de sinais da inequação dada (vide como se processa a variação de sinais de uma equação do 2º grau). Assim:

4x² + 4x + 1 < 0 ..+ + + + + + + + (-1/2)+ + + + + + + + + + + + +

Note que a questão propõe que a inequação seja MENOR do que zero (negativa). E o que você nota pelo gráfico aí de cima? Você deve ter notado que a inequação NUNCA será menor do que zero (nunca será negativa), pois antes e depois da única raiz (-1/2) a função é positiva. E ela será igual a zero quando "x" for igual à raiz (-1/2). Logo, a inequação dada ou será positiva (para valores de "x" extrarraízes) ou será igual a zero, quando "x" for igual à única raiz. E, assim, a inequação dada NUNCA será negativa.
Dessa forma, o domínio da inequação dada será o conjunto vazio, o que você poderá apresentar assim:

D = ∅ ou D = { } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.