Question

Resolver, em R, a inequação a seguir:
a) x(x-2)(-x+1)>0

Answer 1

$x(x-2)(-x+1)>0\\ \\ -x(x-2)(x-1)>0\\ \\ x(x-2)(x-1)<0$


Se o produto de três fatores é negativo, então o número de fatores negativos é ímpar. Isto significa que

apenas um fator é negativo (e os outros dois são positivos);

ou os três fatores são negativos.


Analisando cada caso, separadamente:

$\bullet\;\;$ apenas um fator é negativo (e os outros dois são positivos)

$\mathbf{(i)}\;\;x<0\;\text{ e }\;x-2>0\;\text{ e }\;x-1>0\\ \\ \Rightarrow\;\;x<0\;\text{ e }\;x>2\;\text{ e }\;x>1$

A situação acima é impossível de acontecer.


$\mathbf{(ii)}\;\;x>0\;\text{ e }\;x-2<0\;\text{ e }\;x-1>0\\ \\ \Rightarrow\;\;x>0\;\text{ e }\;x<2\;\text{ e }\;x>1\\ \\ \Rightarrow\;\;1<x<2$


$\mathbf{(iii)}\;\;x>0\;\text{ e }\;x-2>0\;\text{ e }\;x-1<0\\ \\ \Rightarrow\;\;x>0\;\text{ e }\;x>2\;\text{ e }\;x<1$

Novamente, a situação acima é impossível de acontecer.


Portanto, se apenas um fator for negativo e os outros dois forem positivos, a solução é

$S_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,1<x<2\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos

$S_{1}=(1;\,2)$


$\bullet\;\;$ os três fatores são negativos:

$x<0\;\text{ e }\;x-2<0\;\text{ e }\;x-1<0\\ \\ \Rightarrow\;\;x<0\;\text{ e }\;x<2\;\text{ e }\;x<1\\ \\ \Rightarrow\;\;x<0$


A solução para o caso onde os três fatores são negativos é

$S_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<0\right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos,

$S_{2}=(-\infty;\,0)$


A solução da inequação dada inicialmente é a união das duas soluções encontradas para cada caso:

$S=S_{2}\cup S_{1}\\ \\ S=(-\infty;\,0)\cup (1;\,2)$

que é o mesmo que escrever

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<0\;\text{ ou }\;1<x<2\right. \right \}$