Question

resolver em R,a equacao log x(x-1) +log x (9) - log x (2)= 2?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver, no âmbito dos Reais, a seguinte expressão logarítmica:

logₓ (x-1) + logₓ (9) - logₓ (2) = 2

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar as condições de existência quanto às bases e quanto aos logaritmandos:

i) Quanto às bases, note que ela deverá ser positiva (> 0) e, além disso, deverá ser diferente de "1".  Assim, quanto às bases, deveremos isto:

x > 0 e x ≠ 1

ii) Quanto aos logaritmandos, veja que ele também deverá ser positivo (> 0), ou seja, teremos que impor isto no único logaritmando em que há incógnita:

x - 1 > 0
x > 1 .

iii) Agora veja: se temos que "x" terá que ser maior do que zero e diferente de "1", quanto às bases e ser maior do que "1" quanto ao logaritmando, então vai prevalecer esta última condição de existência, ou seja, vai prevalecer que:

x > 1 ---- note: sendo "x" maior do que "1" já estará satisfazendo também à condição de existência da base, pois a base terá que ser maior do que zero e diferente de "1". Por isso é que a condição de existência que deverá prevalecer é: x > 1.

iv) Bem, como já vimos as condições de existência, vamos trabalhar com a nossa expressão, que é esta:

logₓ (x-1) + logₓ (9) - logₓ (2) = 2 ---- Como as bases são as mesmas, então poderemos transformar a soma em produto, teremos:

logₓ [(x-1)*9] - logₓ (2) = 2 ----- agora, como continuam as mesmas bases, vamos transformar a subtração em divisão, ficando:

logₓ [(x-1)*9/2] = 2 ---- agora note: aplicando a definição de logaritmo, então teremos que:

x² = (x-1)*9/2  ----- efetuando o produto indicado, teremos:
x² = (9x-9)/2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*x² = 9x - 9  --- ou apenas:
2x² = 9x - 9 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
2x² - 9x + 9 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 3/2
x'' = 3

Como ambas as raízes satisfazem à condição de existência (que era x > 1), então "x' poderá ser:

3/2 ou 3 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {3/2; 3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.