resolver as inequações:
(3-5x).(2-x)menor ou igual x-2
x+3/2-x menor ou igual 4
3/x + 5/x-1 menor ou igual 0
Soluções para a tarefa
Veja, Gabriele, que a resolução é simples. Temos as seguintes inequações:
a) (3-5x)*(2-x) ≤ x-2
Vamos passar o "x-2" para o 1º membro, ficando assim:
(3-5x)*(2-x) - x + 2 ≤ 0 ------ efetuando o produto indicado, teremos:
6-13x+5x² - x + 2 ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x² - 14x + 8 ≤ 0 ---- agora veja: se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes: x' = 4/5; x'' = 2.
Agora vamos analisar a variação de sinais da inequação dada, em função das raízes acima encontradas. Logo:
5x² - 14x + 8 ≤ 0 ...+ + + + + + + +(4/5)- - - - - - - - - (2)+ + + + + + + + + + +
Como queremos que a inequação-produto seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou seja igual a zero no gráfico acima. Assim, o intervalo para a resposta será esta:
4/5 ≤ x ≤ 2 ------ Esta é a resposta para a questão do item "a"
b) (x+3)/(2-x) ≤ 4 ----- vamos passar o "4" para o 1º membro, ficando:
(x+3)/(2-x) - 4 ≤ 0 ----- mmc = (2-x). Assim, utilizando-o, teremos:
[1*(x+3) - (2-x)*4/(2-x) ≤ 0 ----- desenvolvendo, teremos:
[(x+3) - (8-4x)]/(2-x) ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses dentro dos colchetes, teremos isto:
[x+3 - 8 + 4x]/(2-x) ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
[5x - 5]/(2-x) ≤ 0 --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
(5x-5)/(2-x) ≤ 0
Agora veja: ficamos com uma inequação-quociente, formada por duas equações do 1º grau, sendo f(x) = 5x-5 (no numerador) e g(x) = 2-x (no denominador). Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e, no fim, daremos qual é o intervalo para a resposta da inequação dada. Assim teremos:
f(x) = 5x-5 ----> raízes: 5x-5 = 0 ---> 5x = 5 ---> x = 5/5 ---> x = 1
g(x) = 2-x ---> raízes: 2-x = 0 ---> -x = - 2 ---> x = 2.
Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas. Assim:
a) f(x) = 5x-5 . . . - - - - - - - - - -- (1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 2-x . ..... + + + + + + + + + + + + + + + +(2)- - - - - - - - - - - - - - - -
c) a/b.................- - - - - - - - - - - -(1)+ + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - -
Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja menor ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou igual a zero no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim, o intervalo que valerá será este: x ≤ 1 , ou x > 2.
Aí você poderá perguntar: por que é que "x" é apenas maior do que "2", mas, no entanto, é menor ou igual a "1"? Resposta: por que "2" é raiz do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser maior ou igual a "2" estaríamos admitindo divisão por zero e isso não existe. Note que se "x" fosse também igual a "2", então o denominador iria zerar. E não existe divisão por zero. Por isso é que "x" é apenas: > 2 e nunca ≥ 2, entendido?
Assim, repetindo, teremos que a resposta para a questão do item "b" será:
x ≤ 1, ou x > 2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".
c) 3/x - 5/(x-1) ≤ 0 ----- mmc = x*(x-1). Assim, utilizando-o no 1º membro, temos:
[(x-1)*3 - x*5]/[x*(x-1)] ≤ 0 ---- efetuando os produtos indicados, temos:
[(3x-3) - 5x]/[x²-x] ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses dentro dos colchetes, teremos:
[3x - 3 - 5x]/[x²-x] ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador:
(- 2x - 3)/(x²-x) ≤ 0
Agora veja: ficamos com uma inequação-produto constituída por uma equação do 1º grau no numerador (f(x) = - 2x - 3) e uma equação do 2º grau no denominador (g(x) = x²-x). Utilizaremos o mesmo método visto no item anterior. Encontraremos as raízes de cada uma das equações. Assim teremos:
f(x) = - 2x - 3 ---> raízes: - 2x = 3 ---> 2x = - 3 ---> x = -3/2
g(x) = x²-x ---> raízes: x²-x = 0 ---> x' = 0 e x'' = 1
Agora vamos para a análise da variação de sinais das funções acima:
a) f(x) = - 2x - 3 ... + + + + + + (-3/2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x² - x ....+ + + + + + + + + + + + + +(0)- - - - - - - -(1)+ + + + + +
c) a/b .................+ + + + + + + (-3/2)- - - - - - (0)+ + + + + (1)- - - - - - - - -
Como queremos que f(x)/g(x) seja MENOR ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou igual a zero, no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo para a resposta será:
-3/2 ≤ x < 0 , ou x > 1 .
Aí você poderá tornar a perguntar: porque o "x" pode ser maior ou igual a (-3/2), mas no entanto só pode ser menor do que zero e maior do que 1.
Resposta: porque "0" e "1" são raízes do denominador, valendo aquilo que informamos para o denominador da questão do item "b".
Então, repetindo, o intervalo (conjunto-solução) da questão do item "c" é este:
-3/2 ≤ x < 0 , ou x > 1 ----- Esta é a resposta para a questão do item "c".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
(3-5x)*(2-x) ≤ x-2
Vamos passar o "x-2" para o 1º membro, ficando assim:
(3-5x)*(2-x) - x + 2 ≤ 0 ------ efetuando o produto indicado, teremos:
6-13x+5x² - x + 2 ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x² - 14x + 8 ≤ 0 ---- agora veja: se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes: x' = 4/5; x'' = 2.
Agora vamos analisar a variação de sinais da inequação dada, em função das raízes acima encontradas. Logo:
5x² - 14x + 8 ≤ 0 ...+ + + + + + + +(4/5)- - - - - - - - - (2)+ + + + + + + + + + +
Como queremos que a inequação-produto seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou seja igual a zero no gráfico acima. Assim, o intervalo para a resposta será esta:
4/5 ≤ x ≤ 2 ------ Esta é a resposta para a questão do item "a"
b) (x+3)/(2-x) ≤ 4 ----- vamos passar o "4" para o 1º membro, ficando:
(x+3)/(2-x) - 4 ≤ 0 ----- mmc = (2-x). Assim, utilizando-o, teremos:
[1*(x+3) - (2-x)*4/(2-x) ≤ 0 ----- desenvolvendo, teremos:
[(x+3) - (8-4x)]/(2-x) ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses dentro dos colchetes, teremos isto:
[x+3 - 8 + 4x]/(2-x) ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
[5x - 5]/(2-x) ≤ 0 --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
(5x-5)/(2-x) ≤ 0
Agora veja: ficamos com uma inequação-quociente, formada por duas equações do 1º grau, sendo f(x) = 5x-5 (no numerador) e g(x) = 2-x (no denominador). Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e, no fim, daremos qual é o intervalo para a resposta da inequação dada. Assim teremos:
f(x) = 5x-5 ----> raízes: 5x-5 = 0 ---> 5x = 5 ---> x = 5/5 ---> x = 1
g(x) = 2-x ---> raízes: 2-x = 0 ---> -x = - 2 ---> x = 2.
Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas. Assim:
a) f(x) = 5x-5 . . . - - - - - - - - - -- (1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 2-x . ..... + + + + + + + + + + + + + + + +(2)- - - - - - - - - - - - - - - -
c) a/b.................- - - - - - - - - - - -(1)+ + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - -
Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja menor ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou igual a zero no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim, o intervalo que valerá será este: x ≤ 1 , ou x > 2.
Aí você poderá perguntar: por que é que "x" é apenas maior do que "2", mas, no entanto, é menor ou igual a "1"? Resposta: por que "2" é raiz do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser maior ou igual a "2" estaríamos admitindo divisão por zero e isso não existe. Note que se "x" fosse também igual a "2", então o denominador iria zerar. E não existe divisão por zero. Por isso é que "x" é apenas: > 2 e nunca ≥ 2, entendido?
Assim, repetindo, teremos que a resposta para a questão do item "b" será:
x ≤ 1, ou x > 2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".
c) 3/x - 5/(x-1) ≤ 0 ----- mmc = x*(x-1). Assim, utilizando-o no 1º membro, temos:
[(x-1)*3 - x*5]/[x*(x-1)] ≤ 0 ---- efetuando os produtos indicados, temos:
[(3x-3) - 5x]/[x²-x] ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses dentro dos colchetes, teremos:
[3x - 3 - 5x]/[x²-x] ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador:
(- 2x - 3)/(x²-x) ≤ 0
Agora veja: ficamos com uma inequação-produto constituída por uma equação do 1º grau no numerador (f(x) = - 2x - 3) e uma equação do 2º grau no denominador (g(x) = x²-x). Utilizaremos o mesmo método visto no item anterior. Encontraremos as raízes de cada uma das equações. Assim teremos:
f(x) = - 2x - 3 ---> raízes: - 2x = 3 ---> 2x = - 3 ---> x = -3/2
g(x) = x²-x ---> raízes: x²-x = 0 ---> x' = 0 e x'' = 1
Agora vamos para a análise da variação de sinais das funções acima:
a) f(x) = - 2x - 3 ... + + + + + + (-3/2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x² - x ....+ + + + + + + + + + + + + +(0)- - - - - - - -(1)+ + + + + +
c) a/b .................+ + + + + + + (-3/2)- - - - - - (0)+ + + + + (1)- - - - - - - - -
Como queremos que f(x)/g(x) seja MENOR ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou igual a zero, no item "c" acima, que nos dá o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo para a resposta será:
-3/2 ≤ x < 0 , ou x > 1 .
Aí você poderá tornar a perguntar: porque o "x" pode ser maior ou igual a (-3/2), mas no entanto só pode ser menor do que zero e maior do que 1.
Resposta: porque "0" e "1" são raízes do denominador, valendo aquilo que informamos para o denominador da questão do item "b".
Então, repetindo, o intervalo (conjunto-solução) da questão do item "c" é este:
-3/2 ≤ x < 0 , ou x > 1 ----- Esta é a resposta para a questão do item "c".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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