Matemática, perguntado por larissallima501, 7 meses atrás

Resolver as equações incompletas do 2º grau:

1) 2x² - 95 = 3 3) 2x² - 12 = 4 5) 9x² + 12x = 0 7) 17x² = 0

2) -x² - 64 = 0 4) x² - x = 0 6) (x + 5)² - 15 =10 + 6x²
me ajudem Por favor

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Resolvendo as equações incompletas do 2º grau, temos como conjunto solução, em cada item: 1) S = {- 7 ; 7}; 2) S = Ø; 3) S = {- 2√2 ; 2√2}; 4) S = {0 ; 1}; 5) S = {- 4/3 ; 0}; 6) S = {0 ; 2}; 7) S = {0}.

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Nesta questão temos três tipos de equações incompletas do 2º grau:

Do tipo b = 0; se encontra na forma ax² + c = 0;
Do tipo c = 0: se encontra na forma ax² + bx = 0;
Do tipo b e c = 0; se encontra na forma ax² = 0.

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Para resolver todas elas, usaremos métodos práticos, sem uso de fórmulas. Para resolver eq. do tipo b = 0, isolamos a incógnita (semelhante a como resolver uma eq. do 1º grau) e num certo momento extraímos a raiz quadrada de ambos os membros, assim obtendo duas possíveis soluções x₁ e x₂ opostas, ou obtendo nenhuma solução real. Já para resolver eq. do tipo c = 0, precisamos colocar o fator comum em evidência, obtendo assim um produto de dois fatores igual a zero, que só será possível se, e somente se eles forem iguais a zero. E dessa forma a equação vai ter, portanto, duas possíveis soluções x₁ e x₂, uma nula e outra distinta. E por fim, a eq. do tipo ax² = 0, sempre terá uma solução nula.

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Item 1 )

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf2x^2-95=3\\\\\sf\iff~~~2x^2-95+95=3+95\\\\\sf\iff~~~2x^2=98\\\\\sf\iff~~~\dfrac{2x^2}{2}=\dfrac{98}{2}\\\\\sf \iff~~~x^2=49\\\\\sf\iff~~~\sqrt{x^2}=\sqrt{49}\\\\\sf\iff~~~|x|=7\\\\\sf\iff~~~ x=\pm~7\end{array}$

$~\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Big\{\!\!-\,7~~;~~7\Big\}\end{array}}}$

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Item 2 )

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf\!\!-x^2-64=0\\\\\sf\iff~~~\!\!-x^2-64+64=0+64\\\\\sf\iff~~~\!\!-x^2=64\\\\\sf \iff~~~x^2=-\,64\\\\\sf\iff~~~\sqrt{x^2}=\sqrt{-\,64}\end{array}$

$\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}~\sf S=\large\text{$\varnothing$}\end{array}}}$

Veja que nesse caso deu uma raiz quadrada de um número negativo, e como bem sabemos isso não existe no conjunto dos números reais. Portanto, não há x ∈ ℝ que satisfaça essa equação.

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Item 3 )

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf2x^2-12=4\\\\\sf\iff~~~2x^2-12+12=4+12\\\\\sf\iff~~~2x^2=16\\\\\sf\iff~~~\dfrac{2x^2}{2}=\dfrac{16}{2}\\\\\sf \iff~~~x^2=8\\\\\sf\iff~~~ \sqrt{x^2}=\sqrt{8}\\\\\sf\iff~~~ |x|=\sqrt{2^2\cdot2}\\\\\sf \iff~~~x=\pm~2\sqrt{2}\end{array}$

$\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Big\{\!\!-\,2\sqrt{2}~~;~~2\sqrt{2}\Big\}\end{array}}}$

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Item 4 )

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf x^2-x=0\\\\\sf \iff~~~x\cdot(x-1)=0\\\\\iff~\,\begin{cases}\sf x=0\\\sf x-1=0\end{cases}\\\\\iff~\,\begin{cases}\sf x_1=0\\\sf x_2=1\end{cases}\end{array}$

$\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Big\{0~~;~~1\Big\}\end{array}}}$

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Item 5)

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf9x^2+12x=0\\\\\sf \iff~~~3x\cdot(3x+4)=0\\\\\iff~\,\begin{cases}\sf 3x=0\\\sf3x+4=0\end{cases}\\\\\iff~\,\begin{cases}\sf x_1=0\\\\\sf x_2=-\dfrac{4}{3}\end{cases}\end{array}$

$\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Bigg\{\!\!\!-\dfrac{4}{3}~~;~~0\Bigg\}\end{array}}}$

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Item 6 )

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf(x+5)^2-15=10+6x^2\\\\\sf\iff~~~ x^2+2\cdot x\cdot5+5^2-15-10-6x^2=0\\\\\sf\iff~~~x^2+10x+25-15-10-6x^2=0\\\\\sf\iff~~~\!\!-5x^2+10x=0\\\\\sf\iff~~~5x^2-10x=0\\\\\sf\iff~~~5x\cdot(x-2)=0\\\\\iff~~~\begin{cases}\sf5x=0\\\sf x-2=0\end{cases}\\\\\iff~~~\begin{cases}\sf x_1=0\\\sf x_2=2\end{cases}\end{array}$

$\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Big\{0~~;~~2\Big\}\end{array}}}$

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Item 7)

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf17x^2=0\\\\\sf\iff~~~\dfrac{17x^2}{17}=\dfrac{0}{17}\\\\\sf\iff~~~x^2=0\\\\\sf\iff~~~x\cdot x=0\\\\\iff~\,\begin{cases}\sf x_1=0\\\sf x_2=0\end{cases}\end{array}$

$\therefore~~\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Big\{\,0\,\Big\}\end{array}}}$

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$