Question

Resolver a seguinte equação exponencial:

$2^{x+1}+2^{x-2}+\dfrac{3}{2^{x-1}}=\dfrac{30}{2^x}$

Answer 1

então amigo, vamos lá:
Vamos deixar separado um específico para substituir :
$2 { }^{x} \times 2 + 2 {}^{x} \times \frac{1}{2 {}^{2} } + \frac{3}{2 {}^{x} \times \frac{1}{2} } = \frac{30}{2 {}^{x} }$
Vamos considerar 2^x = y
logo:
$2y + \frac{y}{4} + \frac{3}{ \frac{y}{2} } = \frac{30}{y}$
já deu uma clareada, vamos fazer soma de 2y e y/4, e arrumar aquela fração de fração:
$\frac{9}{4} y + \frac{6}{y} = \frac{30}{y}$
lembrando que fiz o Mmc entre 2y e y/4 , igualando a Zero temos:
$\frac{9}{4} y + \frac{6}{y} - \frac{30}{y} = 0$

fazendo MMC de tudo chegamos em :
$\frac{9y {}^{2} + 24 - 120 }{4y} = 0$
Numa expressão racional o numerador é =0 portanto:
$9y {}^{2} - 96 = 0 \\ y {}^{2} = \frac{96}{9} \\ y = \sqrt{ \frac{96}{?9} } \\ y = \frac{4 \sqrt{6} }{3}$

Y= 4raiz6/3 ,
Se 2^X = y, então:
* lembrando que Log é:
$log_{b}(a) = x...... = b {}^{x} = a$
Então:
$2 {}^{x} = \frac{4 \sqrt{6} }{3} \\ usando \: log..... \\ x = log_{2}( \frac{4 \sqrt{6} }{3} )$
Espero ter ajudado amigo! Valeu

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial :

$\mathsf{2^{x+1}+2^{x-2}+\dfrac{3}{2^{x-1}}~=~\dfrac{30}{2^x} }$

Para a resolução deste problema é necessário um pouco de astúcia .

Vamos desmembrar alguns expoentes , cuidadosamente sem violar as regras de potenciação :

$\mathsf{2^x.2+\dfrac{2^x}{4}+\dfrac{3}{\frac{2^x}{2}}~=~\dfrac{30}{2^x} }$

Perceba agora que temos alguma coisa em comum na Expressão acima . Por tanto vamos recorrer a Substituição de variável :

Seja: 2^x=t

$\mathsf{2t+\dfrac{t}{4}+\dfrac{3}{\frac{t}{2}}~=~\dfrac{30}{t} }$

$\mathsf{2t+dfrac{t}{4}+3.\dfrac{2}{t}~=~\dfrac{30}{t} }$

$\mathsf{2t+\dfrac{t}{4}+\dfrac{6}{t}~=~\dfrac{30}{t} }$

Multiplicar toda a Equação por t :

$\mathsf{2t^2+\dfrac{t^2}{4}+6~=~30 }$

$\mathsf{\dfrac{9t^2}{4}~=~24 }$

$\mathsf{9t^2~=~96 }$

$\mathsf{t^2~=~\dfrac{96}{9} }$

$\mathsf{t~=~\sqrt{\dfrac{96}{9}} }$

$\boxed{\mathsf{t~=~\dfrac{\sqrt{96}}{3} }}}}$

Lembremos que ;

2^x = t

$\mathsf{2^x~=~\dfrac{\sqrt{96}}{3} }$

$\boxed{\boxed{x~=~\log_{2}\dfrac{\sqrt{96}}{3} }}}}$

Espero ter ajudado bastante!)