Question

Resolver a seguinte equação diferencial x² y"−2xy'+2y = 3x.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=c_3x+c_2x^2-3x\ln{x}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea.

Para resolvê-la, devemos estar atentos a alguns detalhes, tais como os coeficientes e a sua forma, pois algumas soluções já são conhecidas.

Esta em especial é uma Equação de Euler-Cauchy, da forma:

$a_nx^n\dfrac{d^{k}y}{dx^{k}}+a_{n-1}x^{n-1}\dfrac{d^{k-1}y}{dx^{k-1}}+\cdots+a_nx\dfrac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$

Devemos primeiro calcular a solução da equação homogênea por meio da equação auxiliar e analisarmos em qual caso se encaixa a solução.

Para o caso $y = x^m$, nesta equação de segunda ordem, obtém-se a equação auxiliar da seguinte forma:

$ax^m\dfrac{d^2y}{dx^2}+bx\dfrac{dy}{dx}+cy=0$

Calculando a derivada de y, temos:

$ax^m\cdotm(m-1)+bmx^m+cx^m=0\\\\\\ a\cdotm(m-1)+bm+c=0$

Utilizando os coeficientes da equação que nos foi dada, calculamos o valor de $m$ e analisamos suas soluções:

$m(m-1)-2m+2=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$m^2-m-2m+2=0$

Some os termos semelhantes

$m^2-3m+2=0$

Fatorando a equação, percebe-se que:

$(m-1)(m-2)=0$

Logo, suas soluções são $m_1=1$  $m_2=2$

Como são raízes distintas, temos a solução $y = c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}$, sendo $c_1$ e $c_2$ constantes.

Aplicando os valores, temos

$y_h=c_1x+c_2x^2$

Agora, devemos encontrar a solução particular da equação. Neste caso utilizamos o método da variação de parâmetros para a equação de forma

$\dfrac{d^2y}{dx^2}+p(x)\dfrac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$.

Para chegarmos a ela, devemos apenas dividir a equação que tínhamos por um fator $x^2$.

Ficamos com:

$\dfrac{d^2y}{dx^2}-\dfrac{2}{x}\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{3}{x}$

Considere $c_1=v_1$ e $c_2=v_2$, de modo que $v_1$ e $v_2$ são parâmetros.

$y_p=v_1x+v_2x^2$

Seja então a equação homogênea e a equação não homogênea

$\begin{cases}{{v_1}'y_1+{v_2}'y_2=0\\{v_1}'{y_1}'+{v_2}'{y_2}'=f(x)\\\end{cases}}$

Podemos utilizar matrizes para mostrar que:

$\left[\begin{array}{ccc}y_1&y_2\\{y_1}'&{y_2}'\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}{v_1}'\\{v_2}'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\f(x)\end{array}\right]$

E as soluções para os parâmetros via regra de Cramer seriam:

$v_1=-\displaystyle{\int\dfrac{{y_2}\cdot f(x)}{D}\, dx}$ e $v_2=\displaystyle{\int \dfrac{y_1\cdot f(x)}{D}\,dx}$, de forma que $D=\begin{vmatrix}{y_1&y_2\\{y_1}'&{y_2}'\\\end{vmatrix}$ é o determinante Wronskiano.

Assim, substituindo os valores de $y_1=x$, $y_2 =x^2$ e $f(x)=\dfrac{3}{x}$, temos

$D=\begin{vmatrix}{x&x^2\\1&2x\\\end{vmatrix}=2x^2-x^2=x^2$, logo:

$v_1=-\displaystyle{\int\dfrac{{x^2\cdot\dfrac{3}{x}}}{x^2}\,dx}=-3\ln{x}$  e $v_2=\displaystyle{\int\dfrac{ x\cdot\dfrac{3}{x}}{x^2}}\,dx=-\dfrac{3}{x}$

Substitua os parâmetros na solução

$y_p=-3\ln{x}\cdot x+\left(-\dfrac{3}{x}\right)\cdot x^2 = -3x\ln{x}-3x$

A solução final para a equação diferencial é $y=y_h+y_p$, assim:

$y=c_1x+c_2x^2-3x\ln{x}-3x$

Veja que podemos considerar $c_1x-3x=(c_1-3)x=c_3x$, fazendo com que tenhamos:

$y=c_3x+c_2x^2-3x\ln{x}$.