Question

Resolver: -a × log2(1-a) = 2  a × log2(1+a)

Obs: o 2 depois do Log é a base do Log.

Answer 1

$n*log_{b}(a) <=> log_{b}(a^{n})$
$log_{b}(x)=log_{b}(y) <=> x=y$

$(a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}$
$a^{-1}=1/a$
_____________________________

$-a*log_{2}(1-a)=2a*log_{2}(1+a)$

Cortando o 'a' do primeiro membro com o 'a' do segundo:

$-1*log_{2}(1-a)=2*log_{2}(1+a)$
$log_{2}(1-a)^{-1}=log_{2}(1+a)^{2}$

Removendo log dos 2 lados da equação:

$(1-a)^{-1}=(1+a)^{2}$
$1/(1-a)=(1+a)*(1+a)$
$1=(1+a)*(1+a)*(1-a)$
$1=(1+a)*(1^{2}-a^{2})$
$1=(1+a)*(1-a^{2})$
$1=1-a^{2}+a-a^{3}$
$1-1=-a^{3}-a^{2}+a$
$-a^{3}-a^{2}+a=0$

Colocando 'a' em evidência:

$a(-a^{2}-a+1)=0$

Agora igualamos ambas partes a zero:

$a=0$

$-a^{2}-a+1=0$

$\Delta=b^{2}-4*a*c$
$\Delta=(-1)^{2}-4*(-1)*1$
$\Delta=1+4$
$\Delta=5$

$a=(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a$
$a=(-[-1]\pm\sqrt{5})/(2*[-1])$
$a=(1\pm\sqrt{5})/(-2)$
$a=-(1\pm\sqrt{5})/2$

$a'=-(1+\sqrt{5})/2$
$a'=(-1-\sqrt{5})/2$

Se 'a' for esse valor, o logaritmando no segundo membro ficaria negativo, e isso não pode acontecer, logo descartamos esse valor

$a''=-(1-\sqrt{5})/2$
$a''=(\sqrt{5}-1)/2$
_____________________________

$\boxed{a=0} \\ \boxed{a=(\sqrt{5}-1)/2}$