Question

resolver a integral pelo método da substituição.​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int 5x \sqrt{4 - 3x {}^{2} } dx$

A questão já nos da a pista de qual método usar para resolver essa integral.

• Esse método da substituição é utilizado quando tem-se a função e a sua derivada ao mesmo tempo dentro da integral.

Observe que se derivarmos 4 - 3x², chegaremos a função "x", então vamos dizer que a função que será chamada e "u" e derivada, será 4 - 3x².

$u = 4 - 3x {}^{2} \longrightarrow \frac{du}{dx} = - 6x$

Vamos prezar ter o termo x dx isolado, então temos que passar o -6 para o primeiro membro:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ - \frac{du}{6} = x \: dx}$

Agora é só fazer as substituições relacionadas a "u", fazendo isso teremos que:

$\int 5xdx \sqrt{4 - 3x {}^{2} } \longrightarrow \int 5. \left( - \frac{du}{6} \right) \sqrt{u} \\ \\ \boxed{\int - \frac{5}{6} \sqrt{u} \: du}$

Dado que -5/6 é constante, podemos removê-lo da integral, já que constante transitam livremente para dentro e fora da integral:

$- \frac{5}{6} \int \sqrt{u} \: du\longrightarrow - \frac{5}{6} \int u {}^{ \frac{1}{2} } \: du$

Note que essa integral é bem simples de se resolver, pois basta aplicar a regra da potência:

$\boxed{ \int x {}^{n}dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando essa regra citada, temos:

$- \frac{5}{6} . \frac{u {}^{ \frac{1}{2} + 1 } }{ \frac{1}{2} + 1 } + k \longrightarrow - \frac{5}{6} . \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + k \\ \\ - \frac{5}{6} . \frac{2}{3} .u {}^{ \frac{3}{2} } + k\longrightarrow - \frac{10}{18} u {}^{ \frac{3}{2} } + k \\ \\ - \frac{5}{9} u {}^{ \frac{3}{2} } + k, \: k \in \mathbb{R}$

Para finalizar, basta realocar a função que representa "u", pois a mesma fomos nós que "estipulamos". Fazendo isso:

$\boxed{ \int 5x \sqrt{4 - 3x {}^{2} } dx = - \frac{5}{9} (4 - 3x {}^{2}) {}^{ \frac{3}{2} } + k, \: k \in \mathbb{R}}$

Espero ter ajudado