Question

Resolver a integral parcial
preciso do desenvolvimento
integral em anexo

Answer 1

Primeiramente, tomemos a função racional

$f(x)=\dfrac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}$


Para decompor em frações parciais, devemos encontrar as raízes do polinômio denominador:

$D(x)=x^{3}+x^{2}-4x-4$


Esse passo será realizado por tentativa. Fazendo uma pesquisa de raízes, verificamos que $x=2$ é uma raiz de $D(x).$ Então, podemos fatorar $D(x)$ por $(x-2):$

$D(x)=(x-2)\cdot Q(x)\\ \\ \\ D(x)=x^{3}+x^{2}-4x-4$


Adicionando $-2x^{2}+2x^{2},$ temos

$D(x)=(x^{3}-2x^{2})+2x^{2}+x^{2}-4x-4\\ \\ D(x)=x^{2}\,(x-2)+3x^{2}-4x-4$


Adicionando $-6x+6x,$ temos

$D(x)=x^{2}\,(x-2)+3x^{2}-6x+6x-4x-4\\ \\ D(x)=x^{2}\,(x-2)+3x\,(x-2)+2x-4\\ \\ D(x)=x^{2}\,(x-2)+3x\,(x-2)+2\,(x-2)$


Agrupando os termos com o fator $(x-2)$ em comum, chegamos a

$D(x)=(x-2)\,\underbrace{(x^{2}+3x+2)}_{Q(x)}$


Agora, vamos fatorar $Q(x):$

$Q(x)=x^{2}+3x+2\\ \\ Q(x)=x^{2}+2x+x+2\\ \\ Q(x)=x\,(x+2)+1\,(x+2)\\ \\ Q(x)=(x+2)\,(x+1)$


Voltando ao denominador da função racional, temos

$D(x)=(x-2)\,(x+2)\,(x+1)$


e então,

$f(x)=\dfrac{x-1}{(x-2)\,(x+2)\,(x+1)}$


$\bullet\;\;$ Decompondo $f(x)$ em frações parciais, devemos ter

$f(x)=\dfrac{C_{1}}{x-2}+\dfrac{C_{2}}{x+2}+\dfrac{C_{3}}{x+1}\\ \\ \\ \dfrac{x-1}{(x-2)\,(x+2)\,(x+1)}=\dfrac{C_{1}}{x-2}+\dfrac{C_{2}}{x+2}+\dfrac{C_{3}}{x+1}$


Multiplicando os dois lados por $(x-2)\,(x+2)\,(x+1),$ temos

$x-1=C_{1}\,(x+2)\,(x+1)+C_{2}\,(x-2)\,(x+1)+C_{3}\,(x-2)\,(x+2)\;\;\;\mathbf{(i)}$


Tomemos a relação $\mathbf{(i)}$ acima:


$\blacktriangleright\;\;$ Para $x=2,$ temos

$2-1=C_{1}\,(2+2)\,(2+1)+C_{2}\,(2-2)\,(2+1)+C_{3}\,(2-2)\,(2+2)\\ \\ 1=C_{1}\,(4)\,(3)+C_{2}\,(0)\,(3)+C_{3}\,(0)\,(4)\\ \\ 1=12\,C_{1}\\ \\ C_{1}=\frac{1}{12}$


$\blacktriangleright\;\;$ Para $x=-2,$ temos

$-2-1=C_{1}\,(-2+2)\,(-2+1)+C_{2}\,(-2-2)\,(-2+1)+C_{3}\,(-2-2)\,(-2+2) -3=C_{1}\,(0)\,(-1)+C_{2}\,(-4)\,(-1)+C_{3}\,(-4)\,(0)\\ \\ -3=4\,C_{2}\\ \\ C_{2}=-\frac{3}{4}$


$\blacktriangleright\;\;$ Para $x=-1,$ temos

$-1-1=C_{1}\,(-1+2)\,(-1+1)+C_{2}\,(-1-2)\,(-1+1)+C_{3}\,(-1-2)\, (-1+2)\\ \\ -2=C_{1}\,(1)\,(0)+C_{2}\,(-3)\,(0)+C_{3}\,(-3)\,(1)\\ \\ -2=-3\,C_{3}\\ \\ C_{3}=\frac{2}{3}$


Enfim, temos a função integrando decomposta em frações parciais:

$f(x)=\dfrac{\frac{1}{12}}{x-2}+\dfrac{-\frac{3}{4}}{x+2}+\dfrac{\frac{2}{3}}{x+1}$


$\bullet\;\;$ Integrando ambos os lados da igualdade acima, temos

$\int{f(x)\,dx}=\frac{1}{12}\int{\dfrac{dx}{x-2}}-\frac{3}{4}\int{\dfrac{dx}{x+2}}+\frac{2}{3}\int{\dfrac{dx}{x+1}}$


Resolvendo cada uma das integrais acima por substituição simples, chegamos a

$\int{f(x)\,dx}=\frac{1}{12}\mathrm{\,\ell n}|x-2|-\frac{3}{4}\mathrm{\,\ell n}|x+2|+\frac{2}{3}\mathrm{\,\ell n}|x+1|+C$