Question

Resolver a inequação exponencial em R: 3^2x+2 - 3^x+3 > 3^x - 3

Answer 1

Resolver a inequação exponencial:

     $3^{2x+2}-3^{x+3}>3^x-3$


Vamos manipular as expressões usando propriedades da potenciação:

     $3^{2x}\cdot 3^2-3^x\cdot 3^3> 3^x-3\\\\ (3^x)^2\cdot 9-3^x\cdot 27> 3^x-3\\\\ 9\cdot (3^x)^2-27\cdot 3^x-3^x+3> 0\\\\ 9\cdot (3^x)^2-28\cdot 3^x+3> 0$


Para facilitar, faça uma mudança de variável:

     $3^x=t\qquad(t>0)$


e a inequação fica

     $9t^2-28t+3>0$


Temos acima uma inequação do 2º grau, cujos coeficientes são

     $a=9;~~b=-28;~~c=3.$


Encontrando as raízes da função quadrática associada:

     $\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-28)^2-4\cdot 9\cdot 3\\\\ \Delta=784-108\\\\ \Delta=676\\\\ \Delta=26^2$


As raízes são

     $\begin{array}{rcl}t_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ t_1=\dfrac{-(-28)-\sqrt{26^2}}{2\cdot 9}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{-(-28)+\sqrt{26^2}}{2\cdot 9}\\\\ t_1=\dfrac{28-26}{18}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{28+26}{18}\\\\ t_1=\dfrac{2}{18}&\textsf{ e }&t_2=\dfrac{54}{18}\\\\ t_1=\dfrac{1}{9}&\textsf{ e }&t_2=3 \end{array}$


Como o coeficiente quadrático  $a=9>0$  (é positivo), então a solução para a inequação do 2º grau é

     $\begin{array}{rcl} t< t_1&\textsf{ ou }&t> t_2\\\\ t<\dfrac{1}{9}&\textsf{ ou }&t>3 \end{array}$


Voltando à variável  $x:$

     $\begin{array}{rcl} 3^x<\dfrac{1}{9}&\textsf{ ou }&3^x>3\\\\ 3^x<\dfrac{1}{3^2}&\textsf{ ou }&3^x>3^1\\\\ 3^x<3^{-2}&\textsf{ ou }&3^x>3^1\end{array}$


Agora temos desigualdades entre exponenciais de mesma base, e a base é  $3.$

Como  $3>1,$  os sentidos das desigualdades se mantêm para os expoentes. Então,

     $\begin{array}{rcl} x<-2&\textsf{ ou }&x>1\end{array}$   ⟵   solução.


Conjunto solução:

     $S=\{x\in\mathbb{R}:~~x<-2~~\textsf{ ou }~~x>1\}$


ou em notação de intervalos,

     $S=\left]-\infty,\,-2\right[\,\cup\, \left]1,\,+\infty\right[.$


Bons estudos! :-)

Answer 2

3²ˣ⁺² - 3ˣ⁺³ > 3ˣ - 3
3²ˣ . 3² - 3ˣ . 3³ > 3ˣ - 3
3²ˣ . 9 - 3ˣ . 27 - 3ˣ + 3 > 0
9. 3²ˣ - 28. 3ˣ + 3 > 0
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3ˣ = y
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9y² - 28y + 3 > 0
Δ = 676
y' = 1/9
y'' = 3
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3ˣ = y
3ˣ = 1/9
3ˣ = 3⁻²
x = -2
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3ˣ = 3¹
x = 1
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Como 9y² tem coeficiente positivo ao construirmos o esboço do gráfico (parábola) temos os sinais de fora positivos porque o sinal > . Para o intervalo só servem os valores positivos.
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Resposta:
S= {x ∈ R| x < -2 ou x > 1}