Question

Resolver a equação:
$sin(x) = cos(x) , 0 \ \textless \ x \ \textless \ 2 \pi$

(Cheguei em x = $\frac{\pi}{4}$ , mas queria saber se tem alguma outra raiz)

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

     sen x = cos x

para  0 < x < 2π.


Escrevendo todos os termos no mesmo membro, devemos ter

     $\mathsf{sen\,x-cos\,x=0}$


Se um valor é solução para a equação acima, então também é solução para a equação obtida ao elevar os dois membros ao quadrado (mas não vale a recíproca). Então, podemos encontrar candidatos a solução da equação acima.

Atenção: Ao final, devemos testar as soluções encontradas e descartar aquelas que não atendem à equação inicial.


Eleve os dois lados ao quadrado e você obtém

     $\mathsf{(sen\,x-cos\,x)^2=0}\\\\ \mathsf{sen^2\,x-2\,sen\,x\,cos\,x+cos^2\,x=0}\\\\ \mathsf{(sen^2\,x+cos^2\,x)-(2\,sen\,x\,cos\,x)=0}$


Aplicando as identidades trigonométricas

     •  sen² x + cos² x = 1     (identidade trigonométrica fundamental)

     •  2 sen x cos x = sen 2x     (seno do arco duplo)


a equação fica

     $\mathsf{1-sen\,2x=0}\\\\ \mathsf{sen\,2x=1}\\\\ \mathsf{sen\,2x=sen\,\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{2x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi}$

com  k  inteiro.


Então no intervalo  ]0, 2π[  encontra-se dois valores candidatos a solução:

     $\begin{array}{rcl} \mathsf{x_1=\dfrac{\pi}{4}}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x_2=\dfrac{\pi}{4}+\pi}\\\\ \mathsf{x_1=\dfrac{\pi}{4}}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x_2=\dfrac{5\pi}{4}} \end{array}$


Ambos satisfazem a equação original, já que o seno e o cosseno têm o mesmo sinal no 1º e 3º quadrantes. Portanto,


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\Big\{\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4}\Big\}.}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

$sin(x)=cos(x)\\\\\frac{sin(x)}{cos(x)}=\frac{cos(x)}{cos(x)}\\\\tan(x)=1$

O enunciado restringe o domínio para a primeira volta no círculo trigonométrico, na qual existe apenas duas possíveis soluções para a equação acima:

$tan(45\º)=tan(\frac{\pi}{4})=1$

Usando a propriedade:

$tan(x)=tan(x+\pi)$

Temos:

$1=tan(\frac{\pi}{4})=tan(\frac{5\pi}{4})$

Solução:

$\boxed{x=\frac{\pi}{4}\ \ ou\ \ x=\frac{5\pi}{4}}$

Dúvidas? Comente.